资源描述：
《减轻解析几何运算量的方法初探》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、减轻解析几何运算量的方法初探大连八中王洪志中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，以至于被迫中止解题的过程达到望题兴叹的地步。特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是考察的一个重要的方面。解析几何，有目共睹，每年的大题基本上都是压轴题的形式出现，计算能力的考查倾向尤为突出。为此，我将从以下几个方面探索减轻运算量的方法，合理简化解题过程，优化思维过程。以此作为高三教师高考复习如何去教，学生高考复习如何去学的一个有
2、益的参考。一、建立直角坐标系要科学用解析法求证几何问题，常常需要建立坐标系，坐标系建立的不科学，则为计算带来许许多多的困难。一般说来，用解析法证明几何问题时，建立直角坐标系的原则是（1）尽可能使更多的点在坐标上；（2）尽可能利用对称性。例1．已知P为矩形ABCD所在平面内一点（1）求证：（2）若P不在矩形ABCD外，是否存在P到矩形各顶点的距离的平方和最大证明你的结论。分析：利用几何法求解最值不容易时，可采用解析法，联系坐标利用函数求解最值。解：(1)证明：以AB所在的直线为x轴，以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0),B(a,0),C(a,b
3、),D(0,b）P(x,y)==所以（2）假设存在P点满足题意，则有：=++=所以当时，既P时，存在P到矩形各顶点的距离的平方和最大。利用以上这两点原则建立坐标系，不但简化了解题的速度，而且有时还给我们以美的感觉，在数学美中有时还会找到好的方法，因为图形外在的对称美，往往产生内在数学代数式的对称的美，让你产生好奇，让你又所发现，让你有所收获，你说这不能在你的思维上受到深刻的启迪吗？二、“减肥”以后用“弦长公式”许多的时候,要计算直线与曲线相交所截得的弦长,对于圆的弦长,一般应用勾股定理,而抛物线的焦点弦的弦长一般用,对于一般的弦长则用：或.充分应用韦达定理用整
4、体的思想解题,这是我们常用的方法,但有时也会出现问题,这在1991年的高考中表现的非常明显,用待定系数法求解双曲线的方程,解方程组怎么就这么难?别忙,这里也有窍门.请看原题.例2.双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，过双曲线的右焦点且斜率为的直线交双曲线与P、Q两点，若，且
5、PQ
6、=4,求双曲线的方程。解题思路：这是一个典型的相交弦问题，应通过直线的方程与双曲线的方程相联立，得出韦达定理，充分应用韦达定理列方程求解双曲线方程中的方程中的待定系数。解：设双曲线的方程为：直线其中两方程联立，整理得:设则（1）又即整理得：（2）把（1）及代入（2）中，得：（1）可
7、以化简为(3)又
8、PQ
9、=4解得：所求双曲线的方程为：说明：本题的思路都非常清晰，入口较宽,但直接列方程组求解，一般很难求解出正确的答案，运算量较大，特别是弦长这个方程，事实上如果先通过另一个已知条件先化简韦达定理，把韦达定理“减肥”,再列弦长这个方程,问题则变得非常容易了.就好像家里的东西叠一叠才放在箱子里，饭菜还得嚼一嚼才咽下去一样…………，数学特别讲究化简。不信,你也可以利用下题试一试,一定有满意的收获.练习题:已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P、Q两点，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O，且
10、PQ
11、=,求椭圆的方程
12、。答案:所求的椭圆的方程为：或三、“曲线系”的方程能帮忙我们都知道，（1）与直线：平行的直线的方程为：；与直线：垂直的直线的方程为：；（2）经过两曲线和的交点的曲线的方程为：（不包括曲线）（3）与双曲线有相同的渐近线相同的双曲线的方程为：渐近线为的双曲线的方程为：等等。应用这些公式解题，方便的感觉十分的明显。例如：例3．经过直线和圆：的交点且面积最小的圆的方程。解题思路：一般是先求出直线与圆的两个交点的坐标，然后，求以这两个交点为直径的圆的方程。但这需要解方程组，还要利用圆的标准方程求解，计算量较大。而如果利用（2）设所求圆的方程为：即圆心C（代入直线的方程中
13、，求得求得满足条件的圆的方程为：可以看出解一元方程比较简单，通过一次的运算解决了问题，简化了解题的步骤。也就节省了解体的效率。例4.渐近线的方程为，过点P（1，3）的双曲线的方程为___________.解题思路：先判断P点的位置，再设双曲线的方程，最后列方程组求解待定的系数。但如果我们利用（3）设所求双曲线的方程为：，代入P（1，3）求得，问题马上得到解决。避免了复杂的判断，可能的分类讨论，繁杂的解方程组。事半功倍。四、数形结合解析几何本身为数形结合提供了广阔的空间，因为数比较抽象，而图形相对来说比较直观。善于利用有关图形、曲线的几何特征，有利于一举中的，避
14、免繁难。例如例5．（1）已知点A(4,
