定点问题中减少运算量的几种有效途径

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1、定点问题中减少运算量的几种有效途径　　定点问题主要分成两大块，一类是直线经过定点的问题；另一类是除直线外通常是二次曲线经过定点的问题.本文笔者要阐述的是对直线经过定点这个问题的几点想法.根据笔者的教学经验，教师在指导学生解决直线经过定点时的常规思路是这样的：①先设定或写出那条直线方程；②寻找直线方程中一些未知常量间的关系；③将直线方程整理成λ1l1+λ2l2=0的形式（其中λ1代表A1x+B1y+C1，λ2代表A2x+B2y+C2，A1，A2，B1，B2，C1，C2为常数，λ1，λ2一般为变量），找出我们所要求的那条直线的定点.久而久之，受教师常规教学思路的影响，学生的思维也定势了，学

2、生就认定以上解决问题的常规方法，常规方法我们通常可将其称为解题的“通法”.“通法”固然重要，而且是学生必须要重点掌握的方法，但有时“通法”会在解题中受阻或使解题复杂化，从根本上浪费宝贵的学习时间.笔者就直线经过定点问题进行了一点探索，在此作一个小结.　　一、用特殊值法去简化解题过程　　例1已知抛物线方程为y2=4x，直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，问：如果?，那么直线l会经过定点T（5，0）吗？　　这是个简单的直线经过定点的问题，按常规方法去解，一般会设直线l的方程为x=ty+m，联列方程x=ty+m，　　y2=4x，得y2-4ty-4m=0，设A（x1，y1），B（x2，y

3、2），由?=5，用韦达定理将有关量代入知m=5或m=-1，发现直线l不一定会经过定点T（5，0），但我们如果用一条特殊直线去试探这个问题就会使问题的运算过程简化很多，当直线l取x=a时，便知A（a，2），B（a，-2），由?知a=-1或a=5，便知直线l不一定会经过定点T（5，0），此题的答案马上知晓，简化了解题过程，大大减少了运算量.　　二、用“先探后证”的思想去简化解题过程　　例2已知A，B是椭圆C：x2+2y2=1长轴的两个端点，动点P在直线x=3上，直线AP，BP与椭圆C的另外一个交点分别是E，F.如图1，求证：直线EF过定点，并求出定点坐标.　　按照常规方法，我们应努力去写出

4、直线EF的方程，然后用直线系的思想去求出直线EF经过的定点便知晓答案，这样做有一定运算量.但是对这道题目我们不妨来个先探后证，那就会使问题的解答过程简化很多，根据P点运动的对称性可知，直线EF经过的定点应该在x轴上，然后利用特殊值法找出EF在x轴上经过的那个点，解答如下：　　当直线EF的斜率不存在时（如图2），设点M的坐标为M（n，0），则由三角形的相似可知==，得n=.　　于是探索出直线EF经过定点M（，0），设P点的坐标为（3，m），则直线AP的方程可设为：y=（x+1），代入方程：x2+2y2=1，得（1+）x2+x+-1=0，由韦达定理可求xE=，因此yE=，同理可知F点的坐标

5、为（，-），本应写出EF的直线方程再整理去求直线EF经过的定点，而现在因为前面的探索可知只证明E，M，F三点共线就可以了，因为kEM=kFM=，从而使我们的探索得到了理论上的证明，直线EF的定点较为轻松地获得了解决.根据图形的对称性，对问题的解决采用先确定定点，然后证明直线的确经过此定点这种数学上常用的思想，使问题的解决较为轻松，大大减少了解题的运算量，使整个问题得到了简化.本方法特别对此类问题的选择与填空题更是有效的简便方法.此题还可以推广：P点位于直线x=a上，那么直线EF经过哪个定点？此时字母越多，用先探后证的思想就越觉得有优势.　　三、用“1”的逆代，巧化齐次式去简化解题过程　

6、　例3经过原点O的两条直线与抛物线y2=2px分别交于另外两点M，N（如图3），且OM，ON的斜率分别为k1，k2，且满足k1?k2=a（a为非零常数），试探究直线MN是否经过定点.　　本题的常规方法此处从略，此处介绍一种较为巧妙的处理方法，并且将此方法推广到椭圆与双曲线中去，也能够较快地解决一类定点问题.　　设直线MN的方可将my=x+n，因此=1，可将y=2px的右边乘以“1”发现，y=2px?，整理得到齐次式：（）-?（）+=0.由r1r2=?，据韦达定理便知：?==a，知n=，代入my=x+n，得my=x+，因此直线过定点（-，0）.　　推广1：若将题中k1k2=a这一条件改为

7、k1+k2=b（b为非零常数），同样可获直线MN经过的定点.　　推广2：若将题中k1k2=a这条件改为+=C，（C为非零常数）直线MN的定点情况又如何呢？（上面方法同样迅速可以得解）　　推广3：若将题中的抛物线改为椭圆，原点O改为椭圆的顶点，上述三个问题的结果同样可以探索，将其改为双曲线也可以仿照以上方法进行解之.　　推广4：将题中的抛物线改为圆锥曲线，原点改为对任意点R（s，t），上述三个问题也可以进行解决.此处对椭圆问题探索一二，其余情形请