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《2圆锥曲线减少运算量的几种策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、解析几何中减少运算量的几种策略一.回归定义圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的。对某些圆锥曲线问题，若采用“冋归定义”的策略，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的。例1.处标平面上一点P到点A(七0)及到直线x=-j的距离都相等。则点P的轨迹方程为22例2已知许,耳分別是椭圆二+・=l(a>b>0)的左右焦点，M是该椭圆上的一动点，MN是ZF'MF?的外介平分线，F?Q丄MN于Q,求动点0的轨迹方程.二.平几渗透，数形结合，巧用避免复杂运算例3・已知A(3,0)是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作直角三角形A
2、BC,II点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程。例4.设直线L：3x+4y+m=0与圆C：x2+y2+x-2y=0相交于P、Q两点，则当m为何值时，OP丄OQ?三.巧用向量，辩证求解由于向量既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，因此,向量是数形结合和转换的桥梁。例5.己知轨迹E的方程为：3x2+y2=3(y^0)，点、D(-
3、,0),是否存在直线L,使L过点(0,1)并与曲线E交于P、Q两点，FI.ZPDQ为锐角或直角。若存在，求出直线L的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由。例6：已知点A(l,
4、2),过点D(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于B,C两点，试判断AABC的形状.四.理解算理,多想少算,用点差法,设而不求的方法。例7.过点A(2,1)的直线L与所给的双Illi线x2-4=1交于两点P】和P2,且A为线段P1P2的中点，求直线L的方程。LVI例8、椭［31—+—=l.h冇两点P、Q,O是原点，若OP、OQ斜率Z积为一一。1644求证：10PI2+IOQI2为定值。0x所以,动点Q的轨迹方程为%2+)'=/例2解：设Q(兀y),延长尸20和直线片M相交于P,则P(2x-c,2y),RAMPQ^AMF2Q
5、.所^MP=MF2,PQ=F2Qf由椭圆的定义得：F}P=MF}
6、+
7、MP
8、=
9、MF,
10、+
11、MF2
12、=2tz.所以(2兀一c+c)2+(2y尸=(2a)2,即x2+y2=a2例3.解:因为圆C：x2+y2+x-2y=0设M(x,y),连结OC,OM,MA,则由“垂径定理”知，・・・M为BC的中点•••OMdBC,.OM2+MC2=OC2,T在直角AABC中，AM=BM=CM=jBC,/.OM2+AM2=OC2,即x2+y2+(x-3)2+y2=25,・・・M点的轨迹方程为x2+y-3x-8=0。小结：
13、“垂径定理”的使用，对解题很有帮助例4•思路分析：现借助于圆的几何性质可有如下巧解优解：如图，过原点O,则ZPOQ是圆C的圆周角,且为直角。根据“圆中90°的圆周角所对的弦是直y径”可知PQ为圆C的直径，即直线3x+4y+m=0过圆心C(一齐1),代入总线L方程得，3x(—*)+4xl+w=0,・・・〃=一号o小结：将直线方程3x+4y+m=0代入関方程，消元后利用x{x2+7^2=o来求m值，也是切实可行的。例5.将条件“ZPDQ为锐角”转化为DP•DQ»0更为简捷。优解：将直线L的方程y=kx+l代入曲线E的方程得，(/
14、+3用+210<・2=0,设P(xi,y】)，Q(X2』2),则v依题意，ZPDQ为锐几或直角，即DP-DQAO,所以(Xj+y)(X2++)+(也1+1)伙兀2+1)—0»整理得，11/+狄一750,所以一5k軒。但是，当k=・l时，直线L恰过点A(-1,0)而A不在E上，故舍去,因此符合条件的直线L存在，所求斜率k的范围为~Kk<^。例6解：设B(f,2G，C(/；,2(2)，人知2，3,》2工1，则有DB=(/；—5,2/
15、+2),DC=(^-5,2z2+2).・・•B,C,D三点共线，・・・DB//"DC.所以(彳
16、—5)(2匚+2)—(q—5)(2人+2)=0=>+q+$+5=0=>a+1)鸽+1)=-4.乂砸•犹=(彳一1,2/,-2)•(t；一1,2t2-2)=(彳一1)(t；-1)+(2r,-2)(2r2-2)=("一1)©T)[("+1)(—+1)+4]=0,所以4B丄AC,故AABC为宜角三角形.例7思路分析：设直线L的方程为y-l=k（x-2）,代入双曲线兀$一吊=1,消去y得到关于x的一元二次方程。然后用韦达定理，利用A为线段P
17、P2的屮点这一条件，解得k。优解：设弦的两端点的坐标为P.（Xbyi）»P2（x2,y2）,
18、代入双Illi线x2~4=l得，\~，所以（坷+兀2）（兀】_兀2）一（心导"=0。rfl中点A(2,1),所以Xi+X2=4,yi+y2=2,因此1<卩沖2=芒严=4,“—人2即所求直线L的方程为y=4x-7o经检验，符合条件。小结：以上解法称为“点差法”，它是一种“设而不求”的优美解
