高中数学 减少解析几何运算量的常用策略论文 新人教版

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1、减少解析几何运算量的常用策略解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1．回到定义定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例1　一直线被两直线：和：截得的线段的中

2、点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出分别与、的交点（用表示），然后利用中点坐标公式求出，进而得到的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法．设分别与、交于点、，又设的坐标为（），则有①又因为、关于对称，所以点的坐标为（），则有②①×２＋②，得．可见）在：上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为．图１例2　已知分别是椭圆的左右焦点，是该椭圆上的一动点，是的外角平分线，于，求动点的轨迹方程．略解：设，延长和直线相交于，则，且≌．

3、　　所以，，由椭圆的定义得：．所以　，　即所以，动点的轨迹方程为．２．设而不求例３　已知的三个顶点都在椭圆上，若，重心是椭圆的右焦点，求直线的方程．简析略解：　　　　①　　　　　　　　　　　　　②　　　　　　　　　　　　因为椭圆的短轴的顶点，右焦点为重心，所以的坐标与三顶点的坐标有关，故设，则　　　　　　　　　　　　　　　③　　④　　　　　　　　　　　　又因为在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线的方程．对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：．由题意知

4、：，将①、②整体代入得　，这个正好是直线的斜率　，而的中点坐标，即，所以直线的方程为：．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略．３．用好对称数学中的对称是广义的，有几何图形的对称，数量关系式结构的对称，对偶等，用起来比较灵活，而解析几何中的对称还是比较直观的，要是能灵活运用，可化繁为简，化难为易．例４　如图2，在直线上任取一点，经过点且以椭圆的焦点为焦点作椭圆，问当在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程．图2简析略解：椭圆两焦点为，，作关于直线的对称点，要使所作椭圆的长轴最短，即最短，也就是　　　　最短，故点应是直线与已知直线

5、的交点，如图2．　　　　直线的方程为，由方程组　　　　　　　　　得点，由中点坐标公式得，故直线的方程为．解方程组　　　　　　　　　　得所求点的坐标为（－５，４）．由于，此时椭圆的方程为．注：怎样能使椭圆的长轴最短？当然想到椭圆的定义．最小――折线段的和最短――三点一直线――寻找对称点――对称变换．简明的解法找到了．对称，能提供一种清晰的想象力，这种想像力常能使我们看到并发现用别的方法也许较难发现的关系．３．活用平几由于解析几何就是用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，所以平面几何的许多知识就能使我们的思路来得直观明了．ＢＯＦＣ图３例5（2001年全国高

6、考试题）设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且∥轴，证明直线经过原点O．简析略证：如图３，记轴与准线交点Ｅ，过Ａ作，垂足为Ｄ，则∥∥．连结，与相交于点，则由平几知识得：，，根据抛物线的几何性质，，，所以　，即是的中点，与抛物线的顶点Ｏ重合，所以直线经过原点O．４．巧用向量向量是高中教材的新增内容，由于向量具有几何和代数的双重属性，以向量为工具，改变了传统的平面三角、解析几何、立体几何等内容的学习体系，使几何问题彻底代数化了，使数形结合思想体现的更深刻、更完善.例６　（1999年全国高中数学联赛试题）已知点，过点的直线与抛

7、物线交于Ｂ，Ｃ两点，试判断的形状．解：设，，，，，则有，．∵　Ｂ，Ｃ，Ｄ三点共线，　∴　∥．所以　＝０．又＝＋＝［＋４］＝０，所以　，故为直角三角形．例７　已知圆和两个定点，点Ｐ为圆Ｃ上的动点，过点Ｐ的圆Ｃ的切线为，点Ａ关于的对称点为，求的最大值．图１分析：本题的常规解法是：首先求出点的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求的表达式（要运用点的轨迹方程将二元函数问题转化为一元函数最值），进而求出的最大值．这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点的轨迹方程是一个难点，很难突破，并且运算量大，过程繁琐．而平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排

8、运算，使问题的解决变得简洁．解：如图1，设与直线交于点，连接，由分