专题7.8 三角函数中数学思想的应用 -备战2018年中考数学一轮微专题突破（解析版）

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1、【备战2018年中考数学一轮微专题突破】专题08三角函数中数学思想的应用【专题综述】应用三角函数解决实际问题，常常涉及到一些数学思想，如方程思想，转化思想，建模思想等，熟练把握这些数学思想有利于我们更好的解决与之有关的问题.【方法解读】一、建模思想所谓建模思想，就是根据实际问题建立相应的数学模型来解决单纯的数学问题，以此达到解决实际问题的一种数学思想方法.例1：如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，计算需要准备多长水管？解：如图，【解读】要求水

2、管的长，根据实际问题，可以抽象出一个Rt△ABC（如图2），其中BC的长为水管出口的高度，AB的长为水管的长，∠BAC为斜坡与水平面所成角.只要借助三角函数即可解决问题.【举一反三】为加强中小学生体育运动，某市第十七届中小学生田径运动会在市体育场举行，体育场主席台侧面如图所示，若顶棚顶端D与看台底端A的连线和地面垂直，测得顶棚CD的长为12米，∠BAC=30°，∠ACD=45°，求看台AC的长．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.41，≈1.73）[来源:学科网ZXXK]【来源】吉林省长春市农安县西北片初中区2018届九年级上期末模拟数学试卷（解析版）【答案】看台AC的长13.4m

3、．【解析】试题分析：直接过点D作DF⊥AC于点F，利用锐角三角函数关系得出和的长，进而得出答案．试题解析：过点D作DF⊥AC于点F，二、转化思想所谓转化思想，就是将未知转化为已知，将复杂转化为简单等的一种解题思想方法.如在解决实际问题中，可将非直角三角形转化为直角三角形，从而利用三角函数解决问题.例2：兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆，已知电线杆AB的水平距离14m处是河岸，即BD=14m.该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2m的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此

4、人行道封上?(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)【解读】此题在求解过程中，好多地方运用了“转化”的数学思想方法，由所求的问题一步步的探索，最终到达了胜利的彼岸，使人产生了一种由衷的喜悦之情，获得了成就感，增强了学习数学的兴趣，这就是数学之美。【举一反三】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC=10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）【来源】2017年河北省石家庄二十中中考数学模拟试卷【答案】（1）

5、AD=95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料105000米3．【解析】试题分析：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念求出AE的长，根据直角三角形的性质求出DF的长，计算即可；（2）根据梯形的面积公式乘以长计算即可得解．试题解析：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100=105000（米3）．三、方程思想所谓方程思想，就是依据题意设出未知数，列出方程或方程组来解决问题的一种思想方法.在解决直角三角形问题中，方程思想具有广泛的应用.例3：已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为，沿着坡度为的斜坡前进400

6、米到D处（即），测得山顶A的仰角为，求山的高度AB。分析：先过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F构造直角三角形，由于图中有三个直角三角形，已知，不好直接计算，可以设DE为米，通过列方程求解。解：作DE⊥AB于E，作DF⊥BC于F，在Rt△FDC中，∠DFC＝90°，∵，∴DF=CD×sin30°=400×=200（米），CF=CD×cos30°＝400×＝200（米）即：x＋200＝200＋x解得x=200,∴AB＝AE+BE＝200＋200＝200（1＋）米所以山的高度AB等于200（1＋）米。学1科%网【解读】在利用直角三角形中的边角关系求线段的长度时，如果涉及到两个或者两

7、个以上的三角形时，可以通过设未知数，利用线段之间的等量关系列出方程，从而求解。[来源:学。科。网]【举一反三】如图，小明从P点出发，沿北偏东60°方向行驶到达A处，接着向正南方向行驶100（+1）米到达B处．在B处观测到出发时所在的P处在北偏西45°方向上，P，A两处相距多少米？【来源】2017年山东省临沂市临沭县青云中心中学中考数学二模试卷（一）【答案】【解析】试题分析：作辅助线PC⊥AB交AB于点C，设BC长度为x，则AC=AB-BC=100（+1）-x，在△PB