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《数理统计之统计量及其分布(习题)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、计算题、证明题1．设(,，…，)及（，，…，）为两组子样观测值，它们有如下关系＝（都为常数）求子样平均值与，子样方差与之间的关系．解:2．若子样观测值,,…,的频数分别为,,…，，试写出计算子样平均值和子样方差的公式(这里=++…+).解:其中，是出现的频率。3．利用契贝晓夫不等式求钱币需抛多少次才能使子样均值落在0.4到0.6之间的概率至少为0.9?如何才能更精确的计算使概率接近0.9所需抛的次数?是多少?解:设需抛钱币次,第次抛钱币结果为，则独立同分布.且有分布从而。设是子样均值.则.由契贝晓夫不等式，即需抛
2、250次钱币可保证为更精确计算n值,可利用中心极限定理25.其中是的分布函数.4.若一母体的方差=4,而是容量为100的子样的均值.分别利用契夫晓夫不等式和极限定理求出一个界限,使得-(为母体的数学期望E)夹在这界线之间的概率为0.9.解:设此界限为由由此由中心极限定理,5．假定和分别是取自正态母体N(,)的容量为的两个子样(),和()的均值,确定使得两个子样均值之差超过的概率大约为0.01.解:且相互独立.，所以于是6．设母体~N(,4)，（）是取自此母体的一个子样,为子样均值,试问：子样容量应取多大,才能使(
3、1)E();(2)E();(3)P（).25解:(1)(2)=(3).7.设母体(两点分布),（）是取自此母体的一个子样,为子样均值,若P0.2,子样容量应取多大,才能使(1)P(2)E(丨丨)若P为未知数,则对每个,子样容量应取多大才能使E(丨丨)解:(1)要当时,服从二项项分布查二项分布表知所以应取10.(2)当时(3)当未知时,由此知,,要对一切此时均成立.只要求值使最大,显然当,最大,.所以当时,对一切的不等式均能成立.8设母体的阶原点矩和中心矩分别为=Ek,=Ｅ，25＝１,２,３,４，和分别为容量的子样
4、阶原点矩和中心矩,求证:(1)E＝;(2) Ｅ＝＋.解:++注意到独立,且所以=9.设母体~N,子样方差=,求E,D 并证明当增大时,它们分别为+和+. 解:由于所以 . 10.设为取自正态母体~N的一个子样,试证:1+2,1-2是相互独立的.证：25由于1,2~N，所以.E即又，所以由两个变量不相关就推出它们独立.11．设母体的分布函数为F,是取自此母体的一个子样,若F的二阶矩存在,为子样均值,试证1--与j--的相关系数=,,证由于的二阶矩存在,不妨设12.设和分别是子样的子样均值和
5、子样方差,现又获得第+1个观测值,试证:(1)n+1=n+(n+1-n);(2)=.证(1)25=13.从装有一个白球、两个黑球的罐子里有放回地取球,令=0表示取到白球,=1表示取到黑球.求容量为5的子样的和的分布,并求子样均值和子样方差的期望值.解:相互独立都服从二点分布E=D所以服从二项分布其分布列14.设母体服从参数为的普哇松分布,是取自此母体的一个子样,求：(1)子样的联合概率分布列:(2)子样均值的分布列、E、D、和E。解:(1)(2)服从参数为的普哇松分布,所以的分布列为15.设子样取自自由度为的母体
6、,试求子样均值的分布密度函数.解:由于分布具有可加性,所以服从分布.的分布密度函数为:2516.设母体服从分布,其密度函数为为大于0的常数,为取自此母体的一个子样,试求子样和的分布函数.解:利用分布的可加性,知的分布密度为.17.设母体服从指数分布,其密度函数为，求子样均值的分布.解:由于服从指数分布,也就是服从分布:由分布的可加性,知子样和服从因而的分布密度为。18.若是取自正态母体N的子样,求和,的联合分布.解:由于相互独立,又所以和相互独立,,，所以的联合分布是二维正态分布.19.设母体是取自此母体的一个子
7、样,求子样均值的分布密度函数.25解:二维正态变量的和仍为二维正态变量,其五个参数分别为,因此服从20.设母体的分布列为P()=,k=1,2,N.现进行不返回抽样，为子样的均值,试求E和D(表示成N的函数).解:由于N有限,而抽样不返回,所以不是简单随机子样,的分布列与母体相同,但不相互独立,因为25.21.设母体,为取自此母体的一个子样,在子样空间中求子样点到原点距离小于1的概率.解:设样本点到原点的距离为则.-所以查分布表,可求得近似值22.设为取自正态母体N的子样,为子样方差,分别求满足下列各式的最小的值.
8、(1)(2)解:由于(1)查--分布表知最小的值为21.(2).而25查--分布表知,最小的值为13.23.设随机变量求:(1)的分布密度函数;(2)求的分布密度函数;(3)求随机变量的数学期望E和方差D.解:(1)服从分布,称服从分布,且(2)的密度函数为24.设i为相互独立的连续型随机变量,i的分布函数为,试证:随机变量服从分布.证:令则服从分布.的概率密度为25即i
