统计量及其抽样分布

《统计量及其抽样分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、统计量及其抽样分布1统计量1.统计量的形成2.统计量是样本X1，X2……Xn的一个函数3.统计量不依赖任何未知参数4.将一组样本的具体观测值代入统计量函数，可以计算出一个具体的统计量值。抽样样本构造函数2样本均值的抽样分布和中心极限定理1.从一个总体中随机抽出容量相同的各种样本，从这些样本计算出的某统计量所有可能值的概率分布，称为这个统计量的抽样分布。2.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，样本均值，所有可能样本的均值构成的概率分布即为样本均值的抽样分布。【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。4个个体分别为X1=1、X2=2、X3=

2、3、X4=4。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果如下表3，43，33，23，132，42，32，22，124，44，34，24，141，441，33211，21，11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）样本均值的抽样分布1.

3、00.1.2.3P(x)1.53.04.03.52.02.5x所有样本均值的均值和方差式中：M为样本均值的个数样本均值的分布当总体服从正态分布N～(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X的数学期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心极限定理设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。当样本容量足够大时(n≥30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布标准误差标准误差：样本统计量与总体参数之间的平均差异1.所有可能的样本均值

4、的标准差，测度所有样本均值的离散程度2.样本均值的标准误差小于总体标准差3.计算公式为【例】设从一个均值μ=8、标准差σ=0.7的总体中随机抽取容量为n=49的样本。要求：（1）计算样本均值小于7.9的近似概率（2）计算样本均值超过7.9的近似概率（3）计算样本均值在总体均值μ=8附近0.1范围的近似概率【例】某公司有400人，平均工龄为10年，标准差为3年。随机抽出49名组成一个简单随机样本，试问样本中工作人员的平均年龄不低于9年的概率有多大。解：虽然该总体的分布未知，但样本容量n=49较大由中心极限定理可知，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。则均值的期望均

5、值的标准差=1-Φ(-2.33)=Φ(2.33)=0.9901练习题某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均值为99.8公斤/平方厘米，标准差为5.48公斤/平方厘米，从这个总体抽出一个容量为12的样本，问这一样本的平均值介于98.8公斤/平方厘米和100.9公斤/平方厘米之间的概率有多大。3由正态分布导出的几个重要分布卡方(c2)分布定义：设随机变量X1，X2，…Xn相互独立，且Xi服从标准正态分布N（0，1），则它们的平方和服从自由度为n的c2分布。c2分布的数学期望为：E（c2）=nc2分布的方差为：D（c2）=2n当自由度n足够大时,c2分布的概率密度曲线趋

6、于对称；当n→+∞时,c2分布的极限分布是正态分布。t分布和T统计量1.t分布：设随机变量X～N（0,1），Y～c2（n),且X与Y独立，则其分布称为t分布，记为t(n)，其中n为自由度。当n≥2时,t分布的E(t)=0当n≥3时,t分布的D(t)=n/(n-2)2.T统计量设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N～(μ,σ2)的一个样本，称为T统计量,它服从自由度为(n-1)的t分布。则F分布定义：设随机变量Y与Z相互独立，且Y和Z分别服从自由度为m和n的c2分布，随机变量X有如下表达式：则称X服从第一自由度为m，第二自由度为n的F分布，记为X～F（m,n)。4

7、样本比例的抽样分布如果在样本大小为n的样本中具有某一特征的个体数为X，则样本比例用p来表示：当n充分大时，p近似服从均值为，方差为的正态分布。【例】已知对某超市服务水平不满意的人数的比例为5%，现随机抽取475名顾客组成的简单随机样本，问这475名顾客中不满意的比例在0.03～0.075之间的概率有多大?解：设475名顾客中不满意的比例为p,则E(p)=0.05，D(p)=0.05×0.95/475=0.0001p～N（0.05,0.0001)5两个样本平均值之差的分布设是独立地抽自总体的一个容量为n1的样本的均值。是独立地抽自总体的一个容量为n2的样本的均值，

8、则有【例】居民区甲有20