统计量及其抽样分布(I)

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1、第5章统计量及其抽样分布§5.1什么是统计量§5.2关于分布的几个概念§5.3三大统计分布§5.4一个总体参数推断时样本统计量分布§5.5两个总体参数推断时样本统计量分布§5.1统计量统计量是样本的函数，不依赖于任何未知参数；统计量是统计推断的基础，不同的统计推断问题需要构造不同的统计量；常用的统计量有：样本的均值、方差、离散系数k阶距、k阶中心距以及样本偏度和峰度等；其他的统计量概念：次序统计量：极差、中位数、分位数充分统计量：不损失信息的统计量§5.2关于分布的几个概念总体分布与抽样分布渐近分布与近似分布总体中各元素的观测值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分

2、布总体分布(populationdistribution)总体样本统计量的概率分布，是一种理论分布样本统计量是随机变量如：样本均值,样本比例，样本方差等抽样分布来自容量相同的所有可能样本抽样分布提供了样本统计量稳定的信息，是进行推断的理论基础抽样分布、参数估计、假设检验构成了统计推断的核心抽样分布(samplingdistribution)抽样分布(samplingdistribution)总体计算样本统计量例如：样本均值、比例、方差样本渐近分布与近似分布精确的抽样分布很难得到，即使得到也很难推广应用；通常把样本量无限增大时统计量的极限分布作为抽样分布的一种近似，称为渐近分布

3、；在精确分布与渐近分布都无法得到的情况下，可以通过随机模拟来获得统计量的近似分布；如：为了得到某个统计量的分布函数，可以进行一系列类似试验得到一组该统计量的观测值，从而近似得到其经验分布函数。1、2分布2、t分布3、F分布§5.3三大统计分布由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来；设，则令，则Y服从自由度为1的2分布，即当总体，从中抽取容量为n的样本，则2分布(2distribution)2分布(性质和特点)卡方分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大

4、逐渐趋于对称可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2),则(U+V)这一随机变量服从自由度为(n1+n2)的2分布其他性质略。c2分布(图示)选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的2值不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20ms总体例：t分布设X~N(0,1)，Y~2(n)，且X，Y独立，则称统计量：服从自由度为n的t分布,记为t~t(n)。对于来自于的一个样本，则有：由高赛特(W.S.Gosset)于1908年以Student为笔名的论文中提出。t分布的形态Xt

5、分布与正态分布的比较正态分布t分布t不同自由度的t分布正态分布t(df=13)t(df=5)Zt分布由统计学家费希尔(R.A.Fisher)提出的，以其姓氏的第一个字母来命名设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，则称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为F分布(Fdistribution)F分布(图示)不同自由度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)F§5.4样本统计量的抽样分布(一个总体)样本均值的抽样分布样本比例的抽样分布样本方差的抽样分布样本均值的抽样分布是容量相同的所

6、有可能样本的样本均值的概率分布是一种理论概率分布是推断总体均值的理论基础当总体分布为正态分布时，样本均值的抽样分布也为正态分布，且有样本均值的均值(数学期望)等于总体均值样本均值的方差等于总体方差的1/n样本均值的均值（数学期望）样本均值的方差样本均值抽样分布的特征(数学期望与方差)样本均值抽样分布的性质（总体方差已知）=50=10X总体分布n=4抽样分布Xn=16当总体服从正态分布N~(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值也服从正态分布，的数学期望为μ，方差为σ2/n。即～N(μ,σ2/n)中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量

7、足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布。中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。一个任意分布的总体X中心极限定理的分布趋于正态分布的过程样本均值的抽样分布对于任意总体的样本均值，只要n≥30，就有：对其进行标准化，可以变形为：标准化有什么用呢？中心极限定理的应用【例】某生产商声称其产品寿命服从均值为60个月，标准差为6个月的寿命分布。质监部门为进行检验随即抽取50个产品进行试验