统计量与抽样分布(I)

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1、总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论推断总体性质统计量统计的一般步骤这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量.它是完全由样本决定的量.6.2统计量与抽样分布．6.2.1统计量定义6.2设X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，称不含未知参数的样本的函数g(X1，X2，…，Xn)为统计量．若x1，x2，...，xn为样本观测值，则称g(x1，x2，...，xn)为统计量g(X1，X2，…，Xn)的观测值.统计量是处理、分析数据的主要工具．对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入进行计算，因而不能含有任何未知

2、的参数．6.2统计量与抽样分布【例6.4】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～N(，2)，其中、2为未知参数，则X1，min{X1，X2，…，Xn}均为统计量，但诸如等均不是统计量，因它含有未知参数或．常用的统计量有如下几种：6.2.1统计量1.有关一维总体的统计量设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，x1，x2，...，xn为样本观测值，(1)样本均值常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为6.2.1统计量(2)样本方差(3)样本标准差样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准差的估计

3、量.观测值分别为6.2.1统计量(4)样本k阶原点矩（简称样本k阶矩），(k=1，2，…)(5)样本k阶中心矩，(k=2，3，…)显然Ak和Bk的观测值分别记为6.2.1统计量设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本,则定理6.1设总体X的期望E(X)=,方差D(X)=2，X1，X2，…，Xn为总体X的样本，，S2分别为样本均值和样本方差，则6.2.1统计量由辛钦大数定理和依概率收敛的性质可以证明定理6.2设总体X的k阶原点矩E(Xk)=k存在（k=1，2，…，m），X1，X2，…，Xn为总体X的样本，g(t1，t2，…，tm)

4、是m元连续函数，则特别有6.2.1统计量2.有关二维总体的统计量设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为二维总体(X，Y)的样本，其观测值为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列各量为统计量：(1)样本协方差(2)样本相关系数其中SXY和RXY常分别用来作为总体X和Y的协方差Cov(X，Y)与相关系数XY的估计量．6.2.1统计量6.2统计量与抽样分布6.2.2抽样分布统计量的分布称为抽样分布．为了研究抽样分布，先研究数理统计中三种重要的分布．1.2分布定义6.3设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量

5、，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量服从自由度为n的2分布，记为2～2(n)．此处自由度指2中包含独立变量的个数．可以证明，2(n)的概率密度为其中()称为伽马函数，6.2.2抽样分布2分布概率密度图6-92(n)分布的概率密度曲线可以看出，随着n的增大，的图形趋于“平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动．6.2.2抽样分布2分布具有下面性质：(1)(可加性)设是两个相互独立的随机变量，且(2)设证明(1)由2分布的定义易得证明．(2)因为存在相互独立、同分布于N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn

6、，使则6.2.2抽样分布由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得英国统计学家费歇（R.A.Fisher）曾证明，当n较大时，近似服从6.2.2抽样分布2.t分布定义6.4设X～N(0，1)，Y～2(n)，X与Y独立，则称随机变量服从自由度为的t分布，又称为学生氏分布(Studentdistribution)，记为T～t(n)．可以证明t(n)的概率密度为图6-10t分布的概率密度曲线6.2.2抽样分布图6-10t分布的概率密度曲线显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6-10描绘了n=1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较，

7、还描绘了N(0，1)的概率密度曲线．6.2.2抽样分布可看出，随着n的增大，t(n)的概率密度曲线与N(0，1)的概率密度曲线越来越接近．可以证明t分布具有下面性质：即当n趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布N(0,1)．一般地，若n>30，就可认为t(n)基本与N(0，1)相差无几了．6.2.2抽样分布3.F分布定义6.5设X～2(n1)，Y～2(n2)，且X与Y独立，称随机变量服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2)．可以证明的概率密度函数为6.2.2抽样分布6.2.2抽样分布图6-11F分布的概率密度曲线由F分

8、布的定义容易看出，若F～F(n1，n2)，则1/F～F(n2，n1)．4.正态总体的抽样分布定理在数理统计问题中，正态分布占据着十分重要的位置，一方面因为在应用中，