统计量与抽样分布).ppt

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1、6.3统计量与抽样分布在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆“杂乱无章”的数据．对样本的加工是十分重要的．对样本加工，主要就是构造统计量．6.3.1统计量定义6.1设X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，称不含未知参数的样本的函数g(X1，X2，…，Xn)为统计量．若x1，x2，...，xn为样本观测值，则称g(x1，x2，...，xn)为统计量g(X1，X2，…，Xn)的观测值.统计量是处理、分析数据的主要工具．对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观

2、测值代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数．6.3统计量与抽样分布【例】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～N(，2)，其中、2为未知参数，则X1，min{X1，X2，…，Xn}均为统计量，但诸如等均不是统计量，因它含有未知参数或．下面介绍几种常用的统计量6.3.1统计量设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，x1，x2，...，xn为样本观测值，(1)样本均值常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为6.3.2常用的统计量(2)样本方差(3)样本标准差样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准

3、差的估计量.观测值分别为6.2.1统计量(4)样本k阶原点矩（简称样本k阶矩），(k=1，2，…)(5)样本k阶中心矩，(k=2，3，…)显然Ak和Bk的观测值分别记为6.2.1统计量6.3统计量与抽样分布6.3.3统计中的常用分布统计量的分布称为抽样分布．为了研究抽样分布，先研究数理统计中三种重要的分布．一.2分布定义6.3设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量服从自由度为n的2分布，记为2～2(n)．此处自由度指的是2中包含独立变量的个数．2(n)的概率密度为其中()称为伽马

4、函数，6.3.3统计中的常用分布2分布概率密度图6-12(n)分布的概率密度曲线可以看出，随着n的增大，的图形趋于“平缓”，其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动．6.3.3统计中的常用分布2分布具有下面性质：(1)(可加性)设是两个相互独立的随机变量，且(2)设证明(1)由2分布的定义易得证明．(2)因为相互独立、同分布于N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn，使则6.3.3统计中的常用分布由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得6.3.3统计中的常用分布【例】设总体X~N（0,1），X1，X2，…，X6是来自总体X的样本。又

5、假设试确定c,使得cY服从分布。解：由已知条件及正态分布的独立可加性，有且与相互独立，显然应有c>0,且于是当3c=1，即c=1/3时，cY是两个相互独立且服从N(0,1)的随机变量的平方和，由定义得故当c=1/3时，cY服从分布。二.t分布定义6.4设X～N(0，1)，Y～2(n)，X与Y独立，则称随机变量服从自由度为n的t分布，又称为学生氏分布(Studentdistribution)，记为T～t(n)．t(n)的概率密度为图6-3t分布的概率密度曲线6.3.3统计中的常用分布图6-3t分布的概率密度曲线显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6

6、-3描绘了n=1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较，还描绘了N(0，1)的概率密度曲线．6.3.3统计中的常用分布可看出，随着n的增大，t(n)的概率密度曲线与N(0，1)的概率密度曲线越来越接近．可以证明t分布具有下面性质：即当n趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布N(0,1)．一般地，若n>45，就可认为t(n)基本与N(0，1)相差无几了．6.3.3统计中的常用分布三.F分布定义6.5设X～2(n1)，Y～2(n2)，且X与Y独立，称随机变量服从自由度为(n1，n2)的F分布，记为F～F(n1，n2)．可以证明的概率密度函数为6

7、.3.3统计中的常用分布6.3.3统计中的常用分布图6-5F分布的概率密度曲线由F分布的定义容易看出，若F～F(n1，n2)，则1/F～F(n2，n1)．【例】设总体，而X1，X2，…，X15是来自总体X的简单随机样本。求的分布解：因为，，且两者相互独立，利用F分布的定义有分位数设X为一随机变量，我们知道对于给定的实数x，P{X>x}是事件{X>x}的概率．在统计中，我们常常需要利用给定事件{X>x}的概率，由此确定的x是一个临界点,称为分位数(点),有如下定义：定义设X为随机变量，若对给定的(0，1)，存在x满足P{X>x}=，则称x

8、为X的上分位数(点)．若X具有密度f(x)，P{X>x}=说明分位数x右边的一块阴影面积为，即容易看出，X的上