统计量及其抽样分布

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1、第6章统计量及其抽样分布6.1统计量6.2抽样分布的概念和几个重要分布6.3样本均值的分布与中心极限定理6.4样本比例的抽样分布6.5两个样本均值之差的分布6.6样本方差的分布学习目标理解统计量的概念理解抽样分布的意义了解几个重要分布的概念和性质掌握中心极限定理及其应用掌握样本均值、样本比例和样本方差的抽样分布.掌握两个样本均值之差、两个样本方差之比的抽样分布.6.1统计量一、统计量的概念设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本,如果由此样本构造一个函数T(X1,X2,…,Xn),不依赖

2、于任何未知参数,则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量.当获得样本的一组具体观测值x1,x2,…,xn时,代入T,计算出T(x1,x2,…,xn)的数值,就获得一个具体的统计值.常用统计量1.样本均值:反映出总体数学期望的信息2.样本方差和样本标准差:反映总体方差和标准差的信息.3.样本变异系数:V=S/X,反映总体离散系数的信息.4.样本偏度5.样本峰度6.2抽样分布一、抽样分布的概念二、χ2分布三、t分布四、F抽样分布的概念样本统计量的概率分布，是一种理论分布在重复选取容量为n的样本时，由该统

3、计量的所有可能取值形成的相对频数分布随机变量是样本统计量样本均值,样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据抽样分布(samplingdistribution)抽样分布的形成过程(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本χ2分布设X1，X2，…，Xn是n个相互独立，且服从标准正态分布N（0，1）的随机变量，则随机变量的分布叫做自由度为n的χ2分布.χ2分布χ2分布的特

4、点:χ2分布的变量值始终为正χ2(n)分布的形状取决于其自由度n的大小，随着n的增大，其形状逐渐趋于对称χ2分布的数学期望为方差为χ2分布４.χ2分布具有可加性．若Ｕ和Ｖ为两个独立的自由度分别为n1和n2的χ2分布随机变量Ｕ和Ｖ，则Ｕ＋Ｖ这一随机变量服从自由度为（n1＋n2）的χ2分布．５.χ2分布通常用于总体方差的估计和非参数检验等．t分布1.设随机变量X～N(0,1),Y～χ2(n),且X与Y独立,则随机变量的分布称为t分布,记为t(n),其中n为自由度.2.t分布又称为学生分布t分布3.t分布的密度

5、函数是偶函数,关于y轴对称.4.当n≥2时,t分布的数学期望E(t)=0;当n≥3时,t分布的方差D(t)=n/n-25.自由度为1的t分布称为柯西分布.6.随着自由度的增加,t分布的密度函数越来越接近标准正态分布的密度函数.实际应用中,当n≥30时,t分布可近似为标准正态分布.t分布t分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的t分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布xt分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分

6、布t(df=13)t(df=5)zＦ分布1.设Y是服从自由度为m的χ2分布的随机变量，Z是服从自由度为n的χ2分布的随机变量，且Y和Z相互独立，则服从第一自由度为m,第二自由度为n的Ｆ分布,记为F(m,n).2.Ｆ分布通常用于方差分析和回归分析Ｆ分布3.F分布的数学期望和方差为:E(x)=n/n-2,n＞2D(x)=2n2(m+n-2)/m(n-2)(n-4),n＞44.如果随机变量X服从t(n)分布,则X2服从F(1,n)的F分布.样本均值的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形

7、成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布的确定=50=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x的数学期望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)样本均值的抽样分布的确定当总体分布是非正态分布时,样本均值的抽样分布的确定取决于样本容量n的大小当n充分大时（通常要求n≥30），根据中心极限定理，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态

8、分布中心极限定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为，方差为2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x中心极限定理(centrallimittheorem)x的分布趋于正态分布的过程样本均值抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分