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1、§5.3次序统计量及其分布定义定义5-3-1:设为取自总体X的样本，将其按大小顺序排序则称X(k)为第k个次序统计量(No.kOrderStatistic)特别地，称（5-3-1）为最小顺序统计量(MinimumorderStatistic)称（5-3-2）为最大顺序统计量(MaximumorderStatistic)。例5-3-1：设总体X的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布，其分布列为x012p现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有种，现将它们以及由它们所构成的次序统计量的一切可能值列在表中(P243)，由此可给出的分布列如下：X(1)012P19/277/271/27X(2)
2、012P7/2713/277/27X(3)012P1/277/2719/27可见这三个次序统计量的分布是不相同的。进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布，如x(1)和x(2)的联合分布列为x(2)x(1)01207/279/273/27104/273/272001/27易于看出不等于即x(1)和x(2)是不独立的。次序统计量的分布（一）单个次序统计量的分布定理5-3-1：设总体X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，x1,x2,…,xn为样本，则第k个次序统计量x(k)的密度函数为（5-3-3）证明：对任意的实数x，考虑次序统计量x(k)取值落在小区间(x,x+x]内这一事
3、件，它等价于“样本容量为n的样本中有1个观测值落在区间(x,x+x]之间，而有k-1个观测值小于等于x，有n-k个观测值大于x+x”，其直观示意图见下图5-8.xx+xn-kk-11图5—8x(k)的取值示意图样本的每一分量小于等于x的概率为F(x),落入区间(x,x+x]概率为F(x+x)-F(x),落入区间(x+x,b]的概率为1-F(x+x)，而将n个分量分成这样的三组，总的分法有种，于是，若以Fk(x)记x(k)的分布函数，则由多项分布可得两边同除以x,并令x→0,即有推论1：最大次序统计量x(n)的概率密度函数为推论2：最小次序统计量x(1)的概率密度函数为
4、(5-3-4)(5-3-5)例5-3-2:设总体X的密度函数为现从该总体中抽得一个容量为5的样本，试计算解：我们首先应求出x(2)的分布。由总体密度函数不难求出总体分布函数为由公式（5-3-3）可以得到x(2)的密度函数为于是（二）多个次序统计量的联合分布仅讨论任意二个次序统计量的情形。定理5-3-2：设总体ξ有密度函数f(x),a≤x≤b,（同样可设a=-∞,b=+∞)。并且ξ1,ξ2,…,ξn是取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计量ξ(1)<ξ(2)的联合分布密度函数为（5-3-6）证明：对增量y,z以及y5、1个观测值小于等于y,一个落入区间(y,y+y],j–i-1个落入区间(y+y,z],一个落入区间(z,z+z],而余下的n—j个大于z+z”i-11j-i-11n-j于是由多项分布得i-11j-i-11n-ji-11j-i-11n-ji-11j-i-11n-jyy+yzz+zi-11j-i-11n-j考虑到F(x)的连续性，当有于是例5-3-4：设总体分布为U(0,1),x1,x2,…,xn为样本，则(x(1),x(n))的联合密度函数为令由R>0可以推出则该分布参数为(n-1,2)的贝塔分布。总体分位数与样本分位数（一）总体分位数定义5-3-2：设总体X的分布函数为F(
6、x)，满足(5-3-7)的xα称为X的α—分位数，如下图所示。几种常用分布的分位数都在书后附表中可以查到。其中N(0,1)是分布函数表Φ(x)反过来查，而其它几个分布,则是分别对给出α的几个的常用值如α=0,0.25,0.05,0.1,0.9,0.95,0.975等等，列出相应分布对应值的α分位点。图5-9给出了四种常用分布的α分位点表示方法，其中N(0,1)的α分位点通常记成uα.图5-9这里要注意到如下几个有用的事实。，要求的分位数xα,可化成求1)若N(0,1)的分位数.此时，故从而2）对于T~t(n)，由密度函数的对称性可知即（5-3-8）（5-3-9）3）对于F—分布由于所以
7、即（5-3-10）（二）样本分位数定义5-3-3：设为取自总体X的次序统计量，称mp为样本p分位数。（Samplep–Quantile)特别地，当p=½时，称mp为样本中位数。（5-3-11）（5-3-12）对多数总体而言，要给出样本p分位数的精确分布通常不是一件容易的事，但当n→+∞时，样本p分位数的渐近分布有比较简单的表达式，我们这里不加证明地给出如下定理。定理5-3-4：设总体密度函数为f(x),xp为其p分位数，f(x)在xp处连续且f
