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1、第六章数理统计的基本概念数理统计学的任务：1.试验设计和抽样调查设计，即研究如何更有效更合理地获得数据；2.统计推断，即研究如何分析数据，对所研究的问题作出尽可能精确、可靠的结论.对随机现象进行观测或试验收集整理统计资料对研究对象作出推断数理统计学概述本章内容§6.1总体与样本§6.2统计量§6.3抽样分布§6.4经验分布函数§6.1总体与样本总体：所研究对象的全体构成的集合.个体：总体中的每一个元素.例：考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.例：考察某大学学生的身高与体重.总体=？个体=？总体=？个体=？1.定义一、总体和个体(1)总体和个体具有两重性：一
2、方面指所研究的实体；另一方面又指实体的特征指标.注：(2)有限总体与无限总体.总体包含有限个个体2.总体的随机变量表示及总体的分布总体就是随机变量.可以是一维的，可以是二维的.考察某灯泡厂生产的灯泡的寿命.记作X；X的每一个取值就是一个灯泡的寿命.考察某大学学生的身高与体重.总体(X,Y), X“身高”，Y“体重”.总体的分布就是随机变量的分布.以后所研究的总体多是正态总体.简单随机样本：设取自总体X的样本(X1,X2,…,Xn)满足:(1)每个Xi与总体X同分布（代表性）;(2)X1,X2,…,Xn相互独立（独立性）.则称样本(X1,X2,…,Xn
3、)为简单随机样本，简称为样本.样本二重性：注在有限总体中要得到简单样本,必须进行重复抽样.但当总体中个体数相对于样本容量充分大时，不重复抽样得到的样本也可近似看作简单样本.随机抽样：从总体X中抽取部分个体的过程.简称抽样.样本与样本容量：抽取的部分个体(抽样的结果）叫样本；所含个体的个数叫样本容量.记为(X1,X2,……,Xn)二、样本容量为n的样本(X1,X2,…,Xn)由于试验的随机性，样本是n维随机变量试验后(x1,x2,…xn)数据=样本观测值n维常数向量统计推断:分析样本数据对总体的分布作出结论样本从总体带出的信息是分散的、零乱的统计量设总
4、体X的分布函数为F(x)，(X1,X2,…,Xn)是来自总体的样本，则(X1,X2,…,Xn)的分布函数为连续型:X～f(x)，则样本(X1,X2,…,Xn)的密度函数为：三、样本的分布离散型：X～P(X=xi)=pii=1,2,…则样本(X1,X2,…,Xn)的分布为：F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn)P(X1=x1,X2=x2,…Xn=xn)=P(X=x1)P(X=x2)…P(X=xn)f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)设(X1,X2,…,Xn)为来自总体X的容量为n的样本,h(x1,x2,…,
5、xn)为不含未知参数的n元实值函数，则T=h(X1,X2,…,Xn)是一个随机变量，称为统计量.§6.2统计量注：（1）统计量是样本的已知函数，不含任何未知参数.（2）把样本观测值代入统计量，得到统计量的观测值.故统计量也具有二重性.一、统计量的定义例2当总体X~N(,2)，其中参数,2未知时不是统计量例1当参数已知,2未知时，结论如何？都是统计量二、常用统计量定义设样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，常用统计量：样本均值:样本方差：样本k阶原点矩：样本k阶中心矩：样本标准差:样本均值和样本方差的性质定理2.1设总体X的均值为EX=
6、，方差为DX=2，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，则证：由于(X1,X2,…,Xn)是简单随机样本，所以EXi=EX=，DXi=DX=2(i=1,2,…,n)，而且有23s=2ES)(定理2.1设总体X的均值为EX=，方差为DX=2，样本(X1,X2,…,Xn)来自总体X，则自由度表示独立随机变量的个数§6.3抽样分布（1）定义：若X的密度函数为：1.2分布一、数理统计学的三个重要分布则称X服从自由度为n的2分布.记为X~2(n).（2）有关2分布的结论20若X~2(n),Y~2(m),且X与Y相互独立,则X+Y~2(
7、n+m).10若随机变量X～N(0,1)，则X2～2(1).40若X1,X2,…,Xn相互独立，同服从于正态分布N(i,i2)，则30设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,且同服从N(0,1)，则2=X12+X22+…+Xn2～2(n).构造性定义（3）2分布的临界值（上分位点）例：3.942.t分布（1）定义：若随机变量的密度函数为则称X服从可以证明，当自由度n无限增大时，t分布将趋于标准正态分布.判定：构造性定义(2)t分布的临界值（上分位点）例：1.397例１若X~N(,2)，Y/2~2(n)，且X与Y相互独立，证明：
8、证明：且X与Y相互独立所以3.F分布则称X服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布.定义则构造性定义例
