贵州省黔南州凯里一中高三下学期开学数学试卷（文科）含解析

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2015-2016学年贵州省黔南州凯里一中高三（下）开学数学试卷（文科）一•选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的・）1.集合A二{x|・lWxW2},B={x|x06.已知实数x,y满足*y》0,则z=4x+y的最大值为（）ix+y^2A.10B.8C.2D.07.执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）开始fc=l E+ls—乎结束 V32B.亨C.・*D.8.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(正视團侧视團俯视團A.41416B._C._D.69.以点(3,-1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是()A.(x・3)2+(y+1)2=1B.(x+3)2+(y・1)2=1C・(x+3)2+(y・1)2=2D.(x-3)2+(y+1)2=210.如图，矩形ABCD44，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0).且点C与点D在函数x+l,f(x)=—丄卄1,<<0的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自空白部分2A.7B.7C.JD.y11.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交于C于A,B两点，则|AB|=()C.12D.7-x2+2x,12.己知函数f(X)1in(x+]),x>0，若lf(x)l$ax,则a的取值范圉是()A.(・g,0]B.(・oo,1]C.[・2,1]D.[・2,0]二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 8.若向量丽(1,・3),IOAl=lOBI，玉•丽=0,贝01AB=—•9.在等差数列{aj中，已知a3+a8=10,则3^5+37=.10.已知函数f(x)=axlnx,xe(0,+-),其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若y2^2=1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲f(1)=3,则a的值为2x11.己知抛物线y确定a的值；讨论函数g(X)=f(x)吒乂的单调性.=4x与双曲线二亍-线的一个交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤・)12.在厶ABC中,角A.B.C所对的边分别为a.b.c,已知sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.(1)求角A的大小；(2)若cosB二亍，a=3,求c值.13.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A],A?和1个白球B的甲箱与装有2个红球a】，a?和2个白球b|,b?的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(II)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.14.在三棱锥P-ABC中.侧梭长均为4.底边AC=4.AB=2,BC=2{5,D.E分别为PC.BC的中点.(I)求证：平面PAC丄平面ABC.(II)求三棱锥P-ABC的体积；(III)求二面角C-AD-E的余弦值.x2y215.在平面直角坐标系xOy屮，已知椭圆5；尸尹=1(a>b>0)的左焦点为F](-1,0),且点P(0,1)在C]上.(1)求椭圆G的方程；(2)设直线1同时与椭圆©和抛物线C2：y2=4x相切，求直线1的方程.416.已知函数f(x)=ax3+x2(aWR)在x=-y处取得极值. ［选修4・1：几何证明选讲］8.如图，AB是的。0直径，CB与(DO相切于B,E为线段CB±一点，连接AC、AE分别交OO于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(II)若F为EB的三等分点且靠近E,EG=1,GA=3,求线段CE的长.［选修4・4：坐标系与参数方程］x二tcosQ(t为参数，tHO),其中0WaWn,在以23-在直角坐标系心屮，曲线°：LtsinaO为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C?：p=2sin9,C3：p=2V3cos0.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C|与C2相交于点A,C］与C3相交于点B,求|AB|的最大值.［选修4・5：不等式选讲］24.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|(1)当a二・3时，求不等式f(x)23的解集；(2)若f(x)W|x-4|的解集包含［1,2］,求a的取值范围. 2015-2016学年贵州省黔南州凯里一中高三（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一•选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的・）1.集合A二{x|・1WxW2},B={x|x0的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断,[x+y<2即可求出4x+y的最大值.【解答】解：已知实数x、y满足y>0,kx+y^2在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是A(0,0),B(0,2),C(2,0),由图可知,当x=2,y=0时,4x+y的最大值是&故选：B. -2-1-1-23.执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）(HE)V3V311A.B.—C.--gD.p【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5吋满足条件k>4,计算并输出S的值为寺.【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=lk=2不满足条件k>4,k=3不满足条件k>4,k=4不满足条件k>4,k=55兀1满足条件k>4,S二sin—厂二◎， 输出S的值为㊁.故选：D.3.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是()1416A.4B._C.—D.6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可.【解答】解：儿何体是四棱台，下底而是边长为2的正方形，上底面是边长为1的正方形,棱台的高为2,并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为V=yx(22+lM22Xl2)X2=-y.故选B.4.以点(3,-1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是()A.(x・3)2+(y+1)2=1B.(x+3)2+(y・1)2=1C・(x+3)〜(y・1)2=2D.(x-3)2+(y+1)2=2【考点】圆的标准方程.【分析】根据题意，求出点(3,-1)与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合圆的标准方程形式即可得到本题答案.【解答】解：设圆的方程是(x-3)2+(y+1)2=r2・・•直线3x+4y二0相与圆相切因此，所求圆的方程为(X-3)2+(y+1)2=1故选：A. 3.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0).且点C与点D在函数x+l,x^>0f(x)“_丄卄]x<-0的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自空白部分2A.玄B.刁C.©D.©【考点】儿何概型.【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由儿何概型可得.【解答】解：由题意可得B(1,0),把x=l代入y=x+l可得y=2,即C(1,2),把x=0代入y=x+l可得尸1,即图中阴影三角形的第3个定点为(0,1),1令-©x+1二2可解得x=-2,即D(-2,2),13・・・矩形的面积S二3X2二6,阴影三角形的面积SJQX3X1二寿，22.••所求概率p=i6故选：A.4.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交于C于A,B两点，则|AB|=()A.粤B.6C.12D.7【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求11!直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|.33【解答】解：由『=3x得其焦点F(R，0),准线方程为x二-刁93V33则过抛物线y"=3x的焦点F且倾斜角为30。的直线方程为y=tan30°(x-&)(X-&)•代入抛物线方程，消去y，得16x2・i68x+9=0.设A(xpyj),B(X2,y2)168_21则X]+x2=16一2，所以淘碍品倍2故选：c -x2+2x,x=CO3.己知函数f(X)1]门仗+1),x〉0，若|f(x)l$ax,则a的取值范圉是()A.(・°o,0]B.(・°o,1]C.[・2,1]D.[・2,0]【考点】英他不等式的解法.【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f(x)丨的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得I的斜率，进而数形结合可得a的范围.【解答】解：由题意可作出函数y=|f(x)丨的图象，和函数y二ax的图象，由图象可知：函数尸ax的图象为过原点的直线，当直线介于1和x轴之间符合题意，直线1为曲线的切线，且此时函数y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为y=x2・2x,求其导数可得/=2x-2,因为xWO,故yW-2,故直线1的斜率为-2,故只需直线y二ax的斜率a介于-2与0之间即可，即aW[-2,0]故选：D二、填空题二本大题共4小覺每弊5仝，兰20分.)_4.若向量丽(1,-3),0A=1OBN0A*0B=0»贝'JIABl=【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得岀.【解答】解：®0B=(x,y),・・•向量玉=(1,-3),IOAklOBH玉•丽0,・•・0B=(3，1),(・3,-1).・.AB=OB-0A=(2,4)或(-4,2)....IABl=V22+42=2V55.在等差数列｛aj中，己知巧+也=10,则3a5+a7=【考点】等差数列的通项公式.【分析】根据等差数列性质可得：3a5+a7=2他+细)=2(a3+a8).【解答】解：由等差数列的性质得：3a5+a7=2a5+(as+a?)=2a5+(2牝)=2(as+a^)=2(玄彳+牝)=20,故答案为：20.6.已知函数f(x)=axlnx,xe(0,+g),其屮a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若 fz(1)=3,则a的值为.【考点】导数的运算.【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可.【解答】解:Vf(x)=a(1+lnx),f(1)=3,.*.a(1+lnl)=3,解得a=3,故答案为：3.22xy3.已知抛物线y2=4x与双曲线/■尹二1(a>0,b>0)有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c,根据AF丄x轴，可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e.【解答】解：・・•抛物线y2=4x的焦点(1,0)和双曲线的焦点相同，/.c=l,•・・A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，设A点的纵坐标大于0,・・・|AF|=2,・・・A(1,2),・・•点A在双曲线上，ab.*c=l,b2=c2-a2,故答案为：三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤・)4.ABC中，角A.B.C所对的边分别为a.b.c,己知sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC.(1)求角A的大小；1(2)若cosB二三，a=3,求c值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)利用余弦定理表示出cosA,已知等式利用正眩定理化简，代入计算求tllcosA的值，即可确定岀A的度数； (2)由cosB的值求出sinB的值，再由cosA与sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin(A+B),把各自的值代入求IBsin(A+B)的值，即为sinC的值，利用正弦定理求出c的值即可.【解答】解：(1)由正弦定理可得b2+c2=a2+bc,b2+c2r2丄由余弦定理：cosA=2bc=2,兀VAe(0,h),A=HT;・・・cosB二寺，B为三角形的内角,V5+2近sinC=sin(人丄口、a介八^口丄八八。由正弦定理二，得c=3.某筒场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A],A?和1个白球B的甲箱与装有2个红球a】，a?和2个白球b],b?的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(II)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【分析】(I)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；(II)在(I)屮求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的.【解答】解：(I)所有可能的摸出的结果是：{A),a】},{A],a?},{A|,bj},{A],b?},{A?,aj,{A?,a?},{A2,b]},{A2,b2},(B,aj},{B,a?},{B,bj},{B,b2}；(II)不正确.理由如下：由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{A|f3]}>{A],a?}，{A2，}»{A?,a?},共4种，41・・・中奖的概率为迈它・12不中奖的概率为：1-石亏故这种说法不正确. 3.在三棱锥P-ABC中.侧梭长均为4.底边AC=4.AB=2,BC=2a/3,D.E分别为PC.BC的中点.(I)求证：平面PAC丄平面ABC.(II)求三棱锥P-ABC的体积；(III)求二而角C・AD・E的余弦值.【考点】平而与平而垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法.【分析】(I)利用等腰三角形的性质即可得到0P丄AC,再利用勾股定理的逆定理即可得到OP丄OB,利用线面垂直的判定定理即可证明；(II)由(I)可知0P丄平面ABC,故OP为三棱锥P-ABC的高，且0P二2頁，直角三角形ABC的面积S二寺ABXBC,再利用X0P即可得出.(III)过点E作EH丄AC于H,过点H作HM丄AD于M,连接ME,由平面PAC丄平面ABC,EH1AC,EHU平面ABC,可得EH丄平面PAC,于是ME丄AD(三垂线定理)，可得ZEMH即为所求的二面角的平面角.利用直角三角形的边角关系求出即可.【解答】证明:(I)VPA=PB=PC=AC=4,取Aq的中点0,连挙OP,0B,可得：0P丄AC,OP=VpC2-0C2=a/42-22=2逅vAC=4,AB二2,BC=2V3，aac2=ab2+bc2,aAABC为RtzV.•.0B=0C=2,PB2=OB2+OP2,AOP±OB.又VACnBO二0且AC、OBc®ABC,AOP丄平面ABC,又TOPu平面PAC,・•・平面PAC丄平面ABC.)(II)由(I)可知：OP丄平面ABC,AOP为三棱锥卩・ABC的高，M0P=2^3.直角三角形ABC的面积S=yABXBC=yX2X2忑二丽..•.Vp.ABc=ySAABCX0P=yx2V3X2V3=4.(III)方法一：过点E作EH丄AC于H,过点H作HM±AD于M,连接ME,•・•平面PAC丄平面ABC,平面PACn平面ABC=AC,EH丄AC,EHU平面ABC,・・・EH丄平面PAC,AME丄AD(三垂线定理)，AZEMH即为所求的二面角的平面角.•・・E,D分别为屮点，EH1AC,・••在RTAHEC中：HC=ECcos30U=-|,EH=ECsin30°=^, 在RTAHMA中,nSMH=AHsin30在RTAHME中,ME二JhE2+HM2二/3_x25__V37VTT?"4•cos3.在平面克角坐标系xOy中，已知椭圆5話+言=1(a>b>0)的左焦点为F|(-1,0),且点P(0,1)在C］上.(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线1同时与椭圆C|和抛物线C2：y2=4x相切，求直线1的方程.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.X2y2(2)设直线1的方程为y二kx+m,得（1+21?）x2+4kmx+2m2-2=0.因为【分析】(1)因为椭圆G的左焦点为F］(・1,0),所以c=l,点P(0,1)代入椭圆二+尹二1,得b=l,由此能求出椭圆Ci的方程.直线1与椭圆C］相切,所以△=16k2m2-4(l+2k2)(2m2-2)=0.由此能求出直线1的方程.【解答】解：(1)因为椭圆C］的左焦点为F］(・1,0),所以c=l,221七二1点P(0,1)代入椭圆¥十b2_1,得谀,即b=l,所以a2=b2+c2=2 所以椭圆Cl的方程为三-+/二1・乙(2)直线1的斜率显然存在,设直线1的方程为y二kx+m,消去y并整理得(1+21?)x2+4kmx+2m2-2=0,因为直线1与椭圆G相切，所以△=16k2m2-4(l+2kb(2m?・2)=0整理得2k2-m2+l=0①(2xy-4x由［尸kx+时消去y并整理得k2x2+(2km-4)x+m2=()因为直线1与抛物线C2相切，所以△二(2km・4)2-4k2m2=0整理得km=l②综合①②，解得所以直线1的方程为或尸-七-伍.43.已知函数f(X)=ax3+x2(a£R)在x二■亏■处取得极值.(1)确定a的值；(2)讨论函数g(x)=f(x)*ex的单调性.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.44【分析】(1)求导数，利用f(X)=ax3+x2(aeR)在x=・亍处取得极值，可得F(■石)=0,即可确定a的值；(2)rtl(1)得g(x)=(p3+x2)ex,利用导数的正负可得g(x)的单调性.【解答】解：(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x.4Vf(x)=ax'"+x2(a^R)在只=-三处取得极值，4.*.r(-y)=0,164+2*(・丁)二0,.丄・・・a巧；(2)由(1)得g(x)二(豆x'+x?)ex,令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4,当x<-4时，g(x)<0,故g(x)为减函数；当-40,故g(x)为增函数； 当・l0时，0(x)>0,故g(x)为增函数；综上知g(x)在(-8,-4)和(-1,0)内为减函数，在(-4,-1)和(0,+OO)为增函数.［选修4亠几何证明选讲］3.如图，AB是的OO直径，CB与OO相切于B,E为线段CB±一点，连接AC、AE分别交(DO于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(II)若F为EB的三等分点且靠近E,EG=1,GA二3,求线段CE的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(I)连接BD,由题设条件结合圆的性质能求出ZC=ZAGD,从而得到ZC+ZDGE=180°,由此能证明C,E,G,D四点共圆.(II)由切割线定理推导出EB=2,由此能求出CE的长.【解答】(I)证明：连接BD,贝1JZAGD=ZABD,VZABD+ZDAB=90°,ZC+ZCAB=90°.ZC=ZAGD,.•.ZC+ZDGE=180°,AC,E,G,D四点共圆(II)解：VEG*EA=EB-,EG=1,GA=3,・・・EB=2,又TF为EB的三等分点且靠近E,24・・.E2y,FB-y,又TFG・FD二FE・FC=FB_,g.・・FC亏CE=2 A［选修4・4：坐标系与参数方程］（t为参数，tHO），其中0WaWm在以x=tcosa3.在直角坐标系xOy中，曲线Ci：（尸tsinQO为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2sin0,C3：p=2V3cos0.（1）求C?与C3交点的直角坐标；（2）若C］与C2相交于点A,Ci与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.［P2二x2+/【分析】（I）由曲线C2：p=2sin0,化为p2=2psin9,把|y-ps£n0代入得直角坐标方程.同理由C3：p二2長OS0.可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标.（2）由曲线G的参数方程，消去参数t,化为普通方程：y二xmna,其中0WaWm其极坐标方程为：0=a（peR,pHO）,利用|AB=|2sinCl〜2岛cosa|即可得出.【解答】解：⑴由曲线C2：p=2sin0,化为p2=2psin0,x2+y2=2y.同理由C3：p=2^cos0.可得直角坐标方程：4'二2£・・・C2与C3交点的直角坐标为（0,0）,（2）曲线Ci：x=tcosCl亠•c(t为参数，tHO)，化为普通方程：y=xtana,其屮OWaWn,I尸tsinQ其极坐标方程为：6=a(pWR,pHO),VA,B都在&上，「•A(2sina,a),B(2V3COSG,a). 时,|AB|取得最大值4.［选修4・5：不等式选讲］3.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|(1)当a二・3时，求不等式f(x)M3的解集；(2)若f(x)W|x-4|的解集包含［1,2］,求a的取值范围.【考点】绝对值不等式的解法：带绝对值的函数.x<2f23【分析】(1)不等式等价于［3-x+2-x>3,或［3-x+x-2>3，或［x-3+x-2>3,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.(2)原命题等价丁--2-xWaW2-x在［1,2］上恒成立，由此求得求a的取值范围.【解答】解：(1)当a=-3时，f(x)23即p3,或③｛x?L-2>3-解①可得xWl,解②可得xeo,解③可得x$4.把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为｛x|xWl或xM4｝.(2)原命题即f(x)W|x-4|在［1,2］上恒成立，等价于|x+a|+2・xW4・x在［1,2］上恒成立，等价于|x+a|W2,等价于・2Wx+aW2,・2・xWaW2・只在［1,2］上恒成立.故当1WxW2吋，-2-x的最大值为-2-1=-3,2-x的最小值为()，故a的取值范围为［-3,0］,2016年10月13日