樊陈卫投稿：518“型增函数”问题的解法思考与拓展(2)

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1、“k型增函数”问题的解法思考与拓展在多个地区高三模拟考试的试题小出现过如下一道题目：设函数/(X)的定义域为D,如果存在正实数对于任意xgD,都有兀+HJ'(x+k)>/(劝恒成立,则称函数/(x)为D上的“k型增函数”，己知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x-a-2a,若/⑴为/?上的“2014型增函数”，则实数a的取值范围是此题命题思路源于函数单调性定义，单增函数概念“对定义域内任意x,°)”，进而在新定义基础上,对具体的函数问题进行研究.一.解法探究对于本题的思考，如果着眼

2、于/(兀)是分段函数，对/(x+2014)-/(x)M体表达式是什么,可按以下几种情形分别研究⑴仁2。14<0(2)x<0兀+2014〉0(3)x+2014>0(4)“°(5)ZE，在确保⑴至⑸每种情形下〃+約-心若。〉0时，作出出分段函数图像如图2,A(x,/(x)).B(x+2014,、f(x+2014)),若点A在点G左侧或在点H的右侧图像上，则点3始终在点A的上方，即/(x+2014)>/(x)成立，若A在线段LG±,若xa-xb=GH,则/(%+2014)=/(x)；若xA-x8>GHf则/(x+2014)>/(x)；若xA-xIi

3、则/(x+2014)ghI时，.f(x+2014)〉/(x),当A在厶H两点之间图像上时，仍有当

4、x4-勺

5、>GH时,/(x+2014)>/(%)成立.故点A在图像上任意位置时，/(x+2014)>/(X)成立的等价条件卜人-勺

6、>

7、GH

8、,xH=a,yG=yH=-2a-2a,mxG=-5a,GH=6a,故2014〉6g,即0sv也巴所以—+d

9、+2tz严.1007综上，a<.3如果着眼于条件“xeDf都有兀+“D,ja/(x+A)>/(x)恒成立”，从函数变换的角度,y=/(x+幻山函数y=/(x)平移而得,f(x+

10、k)>f(x)恒成立即y=f(x)图像在y=f(x+k)图像下方即可.解析2若aWO时，y=/(x+2014)与y=/(兀)的图像如图3,y=/(x+2014)在y=f(x)±方.若。>0时,如图4,要保持y=f(x+2014)在y=/(x)上方,只需2GO<2014,即6。<2014,故0<。<巴巴『.1007综上a<3依据型增函数”立意命题,考试中多次出现，如将“/(兀)*)冷(

11、2014年的湖北高考题.x—cr+x—2a—3d题1(2014年湖北高考)已知函数/(x)定义在/?上的奇函数，当兀〉0吋,fM=-(x-a2+x-2a2-3a2)f对任意xwR,/(

12、x-l)

13、Z:)-sinxnn(、cosk-l.sinR”「贝iJR型导函数为g(x)=即g(x)=sinx+cosx；刘•于kkk分段函数，“鸟型导函数”需分段研究.例1已知函数/(x)=x3图像上点A(x,/(x)),B(x+k,/(x+£))(P>0),直线AB的斜率最小值5,求kfr+b3_r3b2解你型导函数”g(x}=VM=3x2++Z:2,最小值为—=5,乂有k4k>0,所以k=2y[5.例2已知函数/(x)是定义在(-00,0)u(0,+oo)上的奇函数，且当兀〉0时,/(x)=x-1-2,图像上点A(x,/(x)),B(x+k,.f(x+k))(Ovkvl)直线A

14、B的斜率最小值5,求Rx—1—2,x>0解/(x)=J,考虑/(%)型导函数”g(x),如图5-x+1

15、+2,x<0当AB两点均在G左侧时，x+k<-,即兀V—R—1时，g(x)=l当A在G左侧，3在GH上右侧即x<-lx+k>-lg(兀)=-2x-k-2kg(兀)=T，当AB在GH上]X~~{即一Ukx+k<0-k-2当A在GH上，B在丿K上一RvxvO,g(x)=kt,,[x>0/、当AB在JK±<,01g（兀）=当AB在K