2016-2017年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

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2016-2017学年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.（5分）在复平面内，复数-^+i2012对应的点位于复平面的（）1-1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（5分）已知集合M二｛x：x2<4},N={xx2-2x-3<0},则集合MAN等于()A.{x|x<-2}B.{x|x>3}3.（5分）已知函数f（x）=sinC・{x|-lr是“f(x)=logax(a>0,aHl)在(0,+^)命题TxWR使得x2+2x+3<0z,的否定是：zzVxeR,x2+2x+3>0"上为增函数〃的充要条件C."x=-1〃是"x?+2x+3二0〃的必要不充分条件D.命题p："X/xUR,sinx+cosxWpq”，则「p是真命题6.（5分）一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为（）住视閣）（侧视£1）（饬视圉）A.上B.卫127.（5分）阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（） A.i>5B.i<6C・i<7D・i>8rx-y+2>0&(5分)设变量x,y满足约束条件2x+3y-6>0,则冃标函数z二2x+5y的最小值为()3x+2y_9=C0A.-4B.6C.10D・179.(5分)对于函数f(x)=^lsin2x+sin2x(xGR)有以下几种说法:2(1)(―,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；12(2)函数f(x)的最小正周期是2n；(3)函数f(x)在［-2L,2L］上单调递增.63(4)y=f(x)的一条对称轴x』：其中说法正确的个数是()3A.0B.1C.2D.310.(5分)某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表:考试次数X1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为()A・y二0.7x+5.25B・y二-0.6x+5.25C・y二-0.7x+6.25D・y二-0.7x+5.2511.(5分)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60。的直线丨与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则酣的值等于()|BF|A.5B.4C.3D・212.(5分)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意xeR,f(x)+f(x)>1,则不等式宀f(x)>ex+l的解集为()A.{x|x>0}B.{x|x<0} C.{x|x<-1,或x>l}D・{x|x<-1,或00,b>0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM,交y轴于点P,切圆于点M,若2丽二丽+丽，则双曲线的离心率是三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组［20,25）,第2组［25,30）,第3组［30,35）,第4组［35,40）,第5组［40,45］,得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽屮的概率. 15.(12分)已知数列｛aj的前n项和Sn=3n在平面PAD内找一点M,使得直线CM〃平面PAB,并说明理由；(II)证明：平面PAB丄平面PBD.20.(12分)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aGR.(I)令g(x)=fz(x),求g(x)的单调区间；(II)已知f(x)在处取得极大值，求实数a的取值范围.2221.(12分)已知椭圆C：-^-+^-=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.迈.a2b2(I)求椭圆C的方程；(II)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k证明丄为定值；(ii)求直线AB的斜率的最小值.+8n,｛bn｝是等差数列，且an=bn+bn(1.(I)求数列｛“｝的通项公式；/+1)n+1(II)令Cn二,求数列｛cn｝的前n项和Tn・(bn4-2)n16.(12分)女口图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄CD,AD〃BC,ZADC=ZPAB=90°,BC二CD二丄AD.2 选修题［选修4・4：坐标系与参数方程］22.(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C］的参数方程为/X^COSQ(a为参数)，以坐标Iy=sinCl原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin(e+2L)4=2^2.(1)写岀C］的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在Ci上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.［选修4・5：不等式选讲］23・己知函数f(x)=12x-a|+a・(1)当a二2时，求不等式f(x)W6的解集；(2)设函数g(x)=12x-11,当xWR时，f(x)+g(x)23,求a的取值范围. 2016-2017学年黑龙江省大庆中学高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.（5分）（2013<山东模拟）在复平面内，复数^±^+i2012对应的点位于复平面的（）1-1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】复数的分子与分母同乘分母的共辘复数，化简为a+bi的形式，同时i的幕运算，得到复数对应的点的坐标即可.【解答】W：复数吾+严％严.）（先・）+i二年+E+i.1-111-1）kl+i；2复数对应的点为（1,1）在第一象限.故选A.【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的分母实数化以及i的幕运算是解题的关键.2.（5分）（2010*天津校级模拟）已知集合M={x|x2<4},N={x|x2-2x-3<0},则集合MCIN等于（）A.{x|x<-2}B・{x|x>3}C・{x|-l0V-x2-3x+4义域.【解答】解：由题意知，函数尸「吟+D的定义域为V-x2-3x+4fx+l>01-x2-3x+4>0，解得-1r是“f(x)=logax(a>0,aHl)在(0,+^)上为增函数〃的充要条件B.命题TxGR使得x2+2x+3<0w的否定是：/zVxER,x2+2x+3>0"C・"x二・1〃是z/x2+2x+3=0"的必要不充分条件 D.命题p：z/Vx^R,sinx+cosxWpE",贝!J「p是真命题 【分析】A・利用充要条件的定义和函数的性质判断.B.利用特称命题的否定是全称命题来判断.C.利用充分条件和必要条件的定义进行判断.D.利用命题p与「p真假关系进行判断.【解答】解：根据对数函数的性质可知，〃f（x）=logax（a>0,a^l）在（0,+->）上为增函数〃，则a>l,所以A正确.特称命题的否定是全称命题，所以命题"3xGR使得x2+2x+3<0"的否定是："0xWR,x2+2x+3三0〃，所以B错误.因为x?+2x+3二0的判断式△<（）,所以方程无解，所以“X二・1〃是〃xJ2x+3=0〃即不充分也不必要条件，所以C错误.因为命题p为真命题，所以「P是假命题，所以D错误.故选：A.【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多.1.（5分）（201>淄博二模）一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m）,贝IJ该几何体的体积为（）m3.（主视图）1U1—><—1-*（嵋视图）（侧视甸）A-ib4c-i4【分析】由三视图可知该儿何体是由三个棱长为1的止方体和一个形状为止方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积.【解答】解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的二棱柱构成，即体积为跖个小正方体体积.即灼“冷故选A【点评】本题考查三视图求儿何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原儿何体是解题的关键2.（5分）（2009・广州一模）阅读如图的程序框图，若输出的S的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（） (~v11~r1r=l心K汁1V//A.i>5B.i<6C・iV7D・i>8【分析】S=2,i二2,不满足条件，执行循环；依此类推，当S=16,i=6,满足条件，退出循环体，输出S=16,从而得到判定框中应填.【解答】解：S=l+1=2,i=2,不满足条件，执行循环;S二2+2=4,i二3,不满足条件，执行循环；S二4+3=7,i二4,不满足条件，执行循环；S=7+4=ll,i=5,不满足条件，执彳亍循环；S=ll+5=16,i=6,满足条件，退出循环体，输出S=16故判定框中应填i>5或i$6故选:A【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断.算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题."x-y+2>0&（5分）（2016>天津）设变量x,y满足约束条件2x+3y-6>0,则目标函数z=2x+5y的最3x+2y_9<^0小值为（）A.-4B.6C.10D・17【分析】作出不等式组表示的平面区域，作出直线Io：2x+5y二0,平移直线lo,可得经过点（3,0）时，z=2x+5y取得最小值6.x-y+2>0【解答】解：作出不等式组2x+3y-6>0表示的可行域，3x+2y-9<0如右图中三角形的区域， 作出直线Io：2x+5y二0,图中的虚线，平移直线lo,可得经过点(3,0)时，z二2x+5y取得最小值6.【点评】本题考查简单线性规划的应用，涉及二元一次不等式组表示的平而区域，关键是准确作出不等式组表示的平面区域.9")(缈6秋•让胡路区校级期末)对于函数f(x)爭心沐(xeR)有以下儿种说法：(1)(―,0)是函数f(x)的图象的一个对称中心；12(2)函数f(x)的最小正周期是2皿(3)函数f(x)在［-2L,2L］上单调递增.63(4)y=f(x)的一条对称轴x』：其中说法正确的个数是()3A.0B-1C.2D.3【分析】函数f(x)=^-sin2x+sin2x=^-sin2x+-~=sin(2x-—)+丄，分析函数的对称12262性，周期性和单调性，可得结论.【解答】解：函数f(X)=-^sin2x+sin2x=-^-sin2x+-~二sin(2x-互),22262当x=2L时，sin(2x-匹)=0,故(匹，丄)是函数f(x)的图象的一个对称中心，故(1)126122错误；由2x-—e[-2L+2kn,—+2kn],k^Z得：xe[-2L+kn,2L+kn],kez62263当k二0时，[-2L,匹]是函数f（x）的一个单调递增区间，故（3）正确.63当时，sin（2x-匹）=1.故y二f（x）的-一条对称轴乂二£,故（4）正确.263故选：C 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了和差角公式，降次升角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档.10.（5分）（2014-钟祥市校级模拟）某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表:考试次数X1234所减分数y4.5432.5显然所减分数y与模拟考试次数xZ间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A.y二0・7x+5・25B・y二-0・6x+5・25C・y二一0・7x+6.25D・y二一0・7x+5.25【分析】先求样木中心点，利用线性回归方程一定过样木中心点，代入验证，可得结论.【解答】解：先求样本中心点，；=1+2：3+4=2.5,拜.5+4：3+2.5=3.5由于线性冋归方程一定过样本中心点，代入验证可知y二-0.7X+5.25,满足题意故选D.【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程一定过样本中心点，属于基础题.（5分）（2014*丰台区二模）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点FU倾斜角为60。的直线I与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则普片的值等于（）A.5B.4C.3D.22【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|,结合厂七二即，求出A、B的坐标，然后求其比值.【解答】解：设A（xi，yx）,B（X2，y2）,|AB|=x!+x2+P=.Q'X[+X2=乎,sm匕」02q又艾艾可得爻¥-K,xlx2~4xl~2P2一6 故选c.【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题.12.(5分)(2014*安庆三模)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意xGR,f(x)+f(x)>1,则不等式e・f(x)>ex+l的解集为()A.{xIx>0}B.{x|x<0}B.{x|x<-1,或x>l}D・{x|x<-1,或OVxVl}【分析】构造函数g(x)=ex*f(x)-ex,结合已知可分析岀函数g(x)的单调性，结合g(0)=1,可得不等式(x)>ex+l的解集.【解答】解：令g(x)=ex«f(x)-ex,则(x)=ex*[f(x)+f(x)-1]•・•对任意xER,f(x)+f‘(X)>1,・・・g(x)>0恒成立即g(x)=ex>f(x)-云在R上为增函数又Tf(0)=2,Ag(0)=1故g(x)=ex*f(x)-ex>l的解集为{x|x>0}即不等式ex>f(x)>ex+l的解集为{x|x>0}故选A【点评】木题考查的知识点是函数单调性的性质，导数的运算，其中构造出函数g(x)=ex*f(x)-ex,是解答的关键.二、填空题(共有4个小题，每个小题五分)13.(5分)(2015>泉州校级模拟)如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是一54•Z7126282319 645312 【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求.【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17,22,28,34,35,36.由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12,16,21,23,29,31,32.由此可得甲运动员得分数据的中位数是型竺二31・2。丄乙运动员得分数据的中位数是23.所以甲、乙两人比赛得分的中位数Z和是54・故答案为54.【点评】木题考查了茎叶图，考查了一组数据的中位数的求法，是基础的概念题.m,12.（5分）（2016＞新课标I【）a,B是两个平而，m,n是两条直线，有下列四个命题:①如果m丄n,m丄a,n〃B，那么a丄B・②如果m丄a,n〃a,那么m丄n.③如果a〃B，④如果m〃n,mUa,那么m〃B・那么m与a所成的角和n与（3所成的角相等.其中正确的命题是②③④（填序号）a〃卩,【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假,可得答案.【解答】解：①如果m丄n,m丄a,n〃B，不能得出a丄［3,故错误；②如果n〃a,则存在直线IUa,使门〃1,由m丄a,可得m丄I,那么m±n.故正确；③如果a〃（3,mUa,那么m与B无公共点，则m〃B・故正确④如果m〃n,a〃（3,那么m,n与a所成的角和m,n与（3所成的角均相等.故正确；故答案为：②③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档.13.（5分）（2016秋•让胡路区校级期末）设；，b,；为单位向量，E的夹角为60°,则（a+b+c）•c的最大值为1+后・【分析】根据题意，a=（1,0）,b=（丄，上色），c二（cosa,sina）,利用三角恒等变换和平面22向量的数量积，即可求出最大值. 【解答】解：由题意a=b=c=1,a>b的夹角9=60°,设于（1,0）,b=（丄，卫色），c=（cosa,sina）,22二（乞+b+c）•c=a*c+bec+c=cosa+—cosa+^-^sina+122=—cosa+-^-sina+122沁sin（a+—）+1^V3+1;3・••当a=2kn+—,kw乙时取得最大值1+岛・6故答案为：V3+1・【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了函数与方程思想的应用问题，是综合性题目・2212.（5分）（2016秋•让胡路区校级期末）过双曲线耸-笃二1（a>0,b>0）的右焦点F作/b2圆x2+y2=a2的切线FM,交y轴于点P,切圆于点M,若2丽二丽+帀，则双曲线的离心率是迴_・【分析】根据向量加法法则，得到0M是APOF中PF边上的屮线.由PF与圆x2+y2=a2相切得到0M丄PF,从而可得APOF是等腰直角三角形，ZMFO=45°.最后在RtAOMF利用三角函数的定义算出仝二返，可得双曲线的离心率大小.c2【解答】解：I20M=0F+0P,AAPOF中，OM是PF边上的中线.TPF与圆x2+y2=a2相切，・・・OM丄PF,由此可得APOF屮，PO=FO,ZMFO=45°,又VRtAOMF中,OM=a,OF=c,/.sinZMFO二乂Z,即—=^2l.2c2因此，双曲线的离心率e二伍.故答案为Ji 【点评】本题在双曲线中给出向量关系式，在直线与圆相切的情况下求双曲线的离心率.着重考查了解直角三角形、向量的加法法则、直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识,属于中档题.三、解答题(本大题共5小题，共70分)12.(12分)(2016・焦作一模)近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市而向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组［20,25),第2组［25,30),第3组［30,35),第4组［35,40),第5组［40,45］,得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.(1)求该组织的人数；(2)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(3)在(2)的条件下，该组织决定在这6名志愿者屮随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率.【分析】(1)根据频数二频率X样木容量，频率二对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；(2)先计算岀第3,4,5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者； （3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基木事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5X0.07*n,得到：n=100,故该组织有100人•…（3分）（2）第3组的人数为0.3X100=30,第4组的人数为0.2X100=20,第5组的人数为0.1X100二10.•・•第3,4,5组共有60名志愿者，・••利用分层抽样的方法在60名志愿者屮抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：督"X6二3；第4组：~^><6二2；第5组：-X6=1-606060・・・应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人・...（6分）（3）记第3组的3名志愿者为A】，A2,A3,第4组的2名志愿者为B1B2,第5组的1名志愿者为Ci・则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A】，A2）,（A】，A3）,（A］,B］）,（A】，B2）,（A】，C］）,（A2，A3）,（A2，B］）,（A2，B2）,（A2，Ci）,（A3,B］）,（A3,B2）,（A3,Cl）,（Bi，B2）,（Bi，Cx）,（B2，Cl）,共有15种.其中第3组的3名志愿者Ai，A2,A3,至少有一名志愿者被抽屮的有：（A］,A2）,（A］,A3）,（A］,B］）,（A】，B2）,（A】，C］）,（A2，A3）,（A2,Bi）,（A2，B2）,（A2,Ci）,（A3,Bi）,（A3,B2）,（A3,Ci）,共有12种,则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为p翌旦.…（12分）155【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键.12.（12分）（2016*山东）已知数列｛aj的前n项和Sn=3n2+8n,｛bj是等差数列,且an=bn+bn+i.（I）求数列｛bj的通项公式；（.-Ixrr+1（II）令6二,求数列｛cn｝的前n项和Tn・（bn+2）n【分析】（I）求出数列｛aj的通项公式，再求数列｛bn｝的通项公式；（II）求出数列心｝的通项，利用错位相减法求数列心｝的前n项和口・ 【解答】解:（I）Sn=3n2+8n,nM2时，an=Sn-Sn-i=6n+5,n=l时，ai=Si=ll,/.an=6n+5；•3n=bn_*_bnti，••3n-l=bn-l+bn‘••3n~^n-i二bn-1-bn-1-•I2d=6,/.d=3,Vai=bi+b2,.ll=2bi+3,/.bi=4,bn=4+3(n-1)=3n+l；(J+1)卅1[如亦、n+l(II)5二二込也—=6(n+l)«2n,(bn+2)n(3n+3)nATn=6[2*2+3*2在平面PAD内找一点M,使得直线CM〃平面PAB,并说明理由;(II)证明：平面PAB丄平面PBD.+...+(n+l)*2n]©,A2Tn=6[2>22+3>23+..+n*2n+(n+l)<2n+1]②，①■②可得・Tn=6[2>2+22+23+..+2n-(n+l)>2n+1]=12+6X~-6(n+l)>2n+1=(-6n)1-2•2n+1=-3n*2n+2,.•.Tn=3rr2n+2.【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题.12.(12分)(2016*四川)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄CD,AD〃BC,ZADC=ZPAB=90°,BC二CD二丄AD.2 【分析】(I)M为PD的中点，直线CM〃平面PAB.取AD的中点E,连接CM,ME,CE,则ME〃PA,证明平面CME〃平面PAB,即可证明直线CM〃平面PAB；(II)证明：BD丄平而PAB,即可证明平而PAB丄平而PBD.【解答】证明：(I)M为PD的屮点，直线CM〃平面PAB.VMEC平面PAB,PAU平面PAB,・・.ME〃平面PAB.・.・AD〃BC,BC=AE,・・・ABCE是平行四边形,・・・CE〃AB.•.•CEG平面PAB,ABU平面PAB,・・・CE〃平面PAB.VMEACE=E,・・・平面CME〃平面PAB,TCMU平面CME,.•.CM〃平面PAB；(II)VPA1CD,ZPAB=90°,AB与CD相交,・・.PA丄平面ABCD,・.・BDU平面ABCD,「•PA丄BD,由(I)及BC二CD二丄AD,可得ZBAD=ZBDA=45°,2AZABD=90°,・・・BD丄AB,TPAQAB二A, ・・・BD丄平面PAB,・.・BDU平面PBD,・•・平面PAB丄平面PBD.【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题.12.(12分)(2016*ill东)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,aWR・(I)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(II)己知f(x)在x=l处取得极大值，求实数a的取值范围.【分析】(I)先求出g(x)=f(x)的解析式，然后求函数的导数gz(X),利用函数单调性和导数之间的关系即可求g(X)的单调区间；(II)分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论.【解答】解：(I)Vf(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,Ag(x)=f(x)=lnx-2ax+2a,x>0,g(x)=1-2a=1~2aXX当aWO,gz(x)>0恒成立，即可g(x)的单调增区间是(0,+->)；当a>0,当x>丄时，g(X)<0,函数为减函数，2a当00,函数为增函数，・••当aW0时，g(x)的单调增区间是(0,+8)；当a>0时，g(x)的单调增区间是(0,丄)，单调减区间是(丄，+-)；2a2a(II)Vf(x)在x“处取得极大值,:.V(1)=0,①当aWO时，fz(x)单调递增，则当OVxVl时，fz(x)<0,f(x)单调递减，当x>l时，f(x)>0,f(x)单调递增，・・・f(x)在x"处取得极小值，不合题意，②当OVaV丄时，丄>1,由(1)知，『(x)在(0,丄)内单调递增，22a2a当00,2a・・・f(x)在(0,1)内单调递减，在(1,丄)内单调递增，即f(x)在x0时，f，(x)WO,f(x)单调递减，不合题意.②当a>丄时，0<丄<1,22a当—0,f(x)单调递增，当x>l时，fz(x)<0,f(x)单调递减，2a・••当x丄.2【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键.综合性较强，难度较大.2212.(12分)(2016*111东)己知椭圆C：^—+^—=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2卫.a2b2(I)求椭圆C的方程；(II)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k鳥证明丄为定值；k(ii)求直线AB的斜率的最小值.【分析】(I)利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程；(II)(i)设出N的坐标，求出PQ坐标，求出直线的斜率，即可推出结果(ii)求出直线PM,QM的方程，然后求解B,A坐标，利用AB的斜率求解最小值.22【解答】解：(I)椭圆C：(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2伍・可得a=2,c血a2b2b二笛22可得椭圆C的方程：丄+牛二1； (II)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限)，设N(・t,0)t>0,M是线段PN的中点，则P(t,2m),过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,Q(t,-2m), t-otJt-0t=-3.为定值;22(ii)由题意可得二+丄二i，m2=4-It2,QM的方程为：y=・3kx+m,422PN的方程为:y二kx+m,联立]刁-+迈-=1‘可得：x2+2(kx+m)J4,[y=kx+in即：(l+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0同理解得xb二,(18k^+l)xQ_6k(m2-2)yB=+m，(18kz+l)xQ2(m2-2),2(m2-2)-32k2(in2-2)B(2k2+l)xQ(18k2+l)xQ(18k2+l)(2k2+l)xQ(i)证明：设直线PM,QM的斜率分别为k,kz,所以6k+l>2V6，当且仅当k二逅时取等号.k6此时4,符合题意.所以，直线AB的斜率的最小值为：並 【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力.选修题［选修4・4：坐标系与参数方程］12.(10分)(2016・新课标III)在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为(幺［尸sin。为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin(0+—)=2!2.4(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在Ci上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时*P的直角坐标.【分析】(1)运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C］的普通方程，运用x=pcos0,y=psine,以及两角和的止弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值.设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t二0,代入椭圆方程，运用判别式为0,求得t,再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标.另外：设P(V3cosa,sina),由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标.【解答】解：(1)曲线C］的参数方程为J(幺为参数)，ly=sinCl2移项后两边平方可得—+y2=cos2a+sin2a=l,32即有椭圆C“^y2=l；曲线C2的极坐标方程为psin(6+—)=2近,4即有p(^-sin0+^-cos0)=2,r2，22 由x=pcos6,y=psin0,可得x+y-4=0,即有C2的直角坐标方程为直线x+y-4=0；(2)由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，PQl取得最值.设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t二0,联立严:穴号可得4x2+6tx+3t2-3=0,Ix2+3y=3由直线与椭圆相切,可得△=36t2-16(3t2-3)=0,解得t=±2,显然t二・2时，|PQ|取得最小值，即有叱』一4二力|二屈V1+1此时4x2-12x+9=0,解得x二丄，2即为P(2,1).22另解：设P(pWcosa,sina),由P到直线的距离为dJ^oSO--FsinO--4|V2|2sin(a+^)-4|=?2，当sin(a+—)二1时，|PQ|的最小值为伍，1此时可取a=—f即有p(1,丄).622【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同吋考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题.［选修4・5：不等式选讲］12.(2016・新课标III)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a二2时，求不等式f(x)W6的解集；(2)设函数g(x)=12x-11,当xWR时，f(x)+g(x)$3,求a的取值范围.【分析】(1)当a二2时S由已知得|2x・2|+2W6,由此能求出不等式f(x)W6的解集.(2)由f(x)+g(x)=|2x-l|+|2x-a+a^3,得|x-丄|+|x-—|2—,由此能求出a的222取值范围.【解答】解：(1)当a二2时，f(x)=|2x-2|+2, Vf(x)W6,/.12x・2|+2W6,|2x-2|W4,|x-1|^2,・・・-2Wx-1W2,解得-1WxW3,・・・不等式f(x)W6的解集为｛x|・(2)Vg(x)=2x-11,Af(x)+g(x)=|2x-11+12x-a|+aM3,2|x-丄|+2|x・2|+a$3,22x-—+x-—~,222当a^3时，成立，当a<3时，「x-丄|+|x-—|2丄|a-1|2~>0,2222・・・(a-1)彳三(3-a)2,解得2WaV3,.•・a的取值范围是［2,+°°).【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题吋要认真审题，注意不等式性质的合理运用. 2017年2月23日