34定积分的应用

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1、§3.4定积分的应用一、平面图形的面积1•直角坐标系b模型Is产6%⑴・“⑴也a其中乃（兀）澄力⑴，兀临刃模型IIS2=血2（»西（刃的C其中兀2（刃澄“（）‘）*k，d]注：复朵图形分割为若干个小图形,后再相加.使其中何一个符合模型I或模型II加以计算，然=12a2222【例1】求星形线出+R二葩所围图形的面积解用参数方程x=tzcos3r,y=asr31p(7sin*/(-3acostsint)dt2p_=12a2qQsin41cos2tdt.pq2Q2sin4t(l・sin2t}dt=~~~【例2】求llll线b=2

2、x在点（丄,1]处法线与Illi线所围成图形的面积j2）解先找出法线方程2）y=2,讯(2*1)y(i3法线方程歹-1=(-1)x——，x+y=—2/23曲线）“=2%和法线x+y=-的另一交点为所求血积5=dy=[6T=12.极朋标系gd7ZW2r=5■1//、o"11-2⑷Xn—3.参数形式表出的Illi线所围成的面枳设曲线C的参数方程（ab）t>,=y（0j(a)=a,y(b)=b,j(/)在[a,0](或[0,a])上有连续导数,且/附)不变号，j(z)3OR•连续则曲边梯形面积（曲线C与直线x=b和兀轴所围成）

3、二、平而曲线的弧长（数学一和数于二）1.直角坐标系弧长S=AV1+&X)2dx而dS二J1+飙)％也称为弧微分2.极坐标系设光滑曲线厂二厂(g),Ca#qb)O⑷在［a,0］上冇连续导数］弧长S=Q：J［M)f+麒qfdg3.参数方程所表曲线的弧长设光滑曲线C!=%(f)(a#tb)ty=y(t)［x(t),y(f)在［q,0］上冇连续的导数］曲线C的弧长S=0：備『+籤⑴U【例1］求星形线*+/二小周长解星形线的参数方程x-acos31,y=asin3t,(O(

4、)]%=12a=6asin212=6ao【例2】求心形线r=a(l+cosP),(0<0<2tt)的周长解1=2fJ[W)『+[W)『0=2a^+COS三、特殊的空间图形的体积1.已知平行截而而积的立体体积.设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面ZP和Z二d所围成，Z轴每一点z(cWWd)且垂直于z轴的立体截面的面积S(z)为已知的连续函数.则立体体积d(2)平面图形由曲线兀二g(y)(MO)与直线y=c,y=cl和y轴围成绕y轴旋转一周的体积Uy=Pog2(y)dyCo绕x轴旋转一周的体积匕-=2pryg(y)dy【例

5、1)求由till线)?=x2-2x和直线)u0,x=UX=3所囤平而图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积・解一平面图形A绕y轴旋转一周所得旋转体体枳平面图形A2绕y轴旋转一周所得旋转体体积V2=27龙一兀［(1+J1+y)dy=丰龙所求体积V=匕+岭=9龙解二匕.=2711x-2xdx=9tt【例2】设9是山抛物线y=2x2和直线x=«,x=2及〉，二0所围成的平而区域;$是由抛物线y=2/的肓线x=66y二0所

6、韦

7、成的平面区域，其中0

8、）问当d为何值时，叫+岭取得最人值？试求此最大值。解（1）2杠（2门必=¥（32一巧4<”(2)V=Vj+V2=-/?(32・a5)+pa4.由V44〃疋(1・a)=0,得区间（a,2）内的惟一驻点。二1.又Vi^=i=-4p<0,因此“1是极大值丿兄也是最大值点.此WV1+V2的最大值29V四、绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积（数学一和数学二）设平而1111线C二初位于x轴上方.它绕兀轴一周所得旋转Illi面的面积为S.则S=2pQdx2.设初的极坐标方程为厂=r（q）（。W〃W0）则S=2〃Q心）sinqj[r⑷了+敵），dq

9、3.设沏的参数方程为x=x（r）,y=）心）（QW/W0）则S=2/p：y⑴倆石險7力4.设沏以弧长S为参数的参数方程兀二x（5）,y二）心）gsWl）则S=2pQy（s）ds【例1]求下列旋转面的面积（1）y=sinx（O0)绕极轴旋转所成曲面。解(1)该旋转而的而积S=27r[yd+y,2dx=27r[sinxVl+cos2xdx=-271[Vl+COS2xd(cosx)=2兀[yj+u~du=4”[J'+Jdu=2^(V2+ln(l+

10、V2)j（2）这是心形线厂（&）=g（1+cos&）,贝i"（—&）=厂（0）,曲线判刑极轴对称，在极轴上方部分，于是它绕极轴转所成曲面的面积为广=d（l+cos〃）,0W〃W;r,S=2龙f厂(〃)sin砧2(0)+[”(0)『d°=2龙[a(1+cos&)J/(1+cos