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1、第四节定积分的应用一、建立积分表达式的微元法二、定积分在几何中的应用举例第六章三、定积分在物理中的应用举例1（2）已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积(微元)元素为因此所求立体体积为上连续,这个是重点，还有微元法是重点2一、建立积分表达式的微元法1)所求量是区间[a,b]上的非均匀连续分布的量2)对区间[a,b]具有可加性,即分布在[a,b]上的总量等于分布在各个子区间上的局部量之和。1.具备哪些特征的量能用定积分来表达？3“分,匀,合,精”2.如何建立所求量的积分表达式？可将上述步骤简化为两步：第一步（分，匀）：第二步（合
2、，精）：4(一)任意分割区间[a,b]为若干子区间，任取一个子区间[x,x+dx]，求Q在该区间上局部量△Q的近似值所确定的在区间[a,b]上非均匀连续分布的量，并且对区间具有可加性。为简单计，省略各子区间的下标k，记第k个子区间为[x,x+dx].由于f为连续函数，因而可积，可取子区间的左端点x为ξk。这样，建立所求量Q的积分表达式的步骤就可归纳为如下：上述简化具有一般性.设Q为由(二)以为被积式，在[a,b]上做积分即得总量Q的精确值积分微元微元法5把分布在区间[a,x]上的量Q记作Q(x)，可知关键步骤：求局部量△Q的近似值？由于f在[a,b]上连续，根据微积分第一基本定理
3、，函数Q(x)的微分为而△Q就是Q(x)在[x,x+dx]上的改变量，所以△Q所需的近似值就是上面Q(x)的微分。根据改变量△Q与微分的关系，只要能找到与dx成线性关系并且与△Q之差为dx高阶无穷小的量，那么它就是△Q所需要的近似值。6在实际应用中，通过在子区间[x,x+dx]上以“匀”代“非匀”或者把子区间[x,x+dx]近似看成一点，用乘法所求得的近似值往往就符合上述要求，可以作为△Q所需的近似值，即为所寻求的积分微元7（1）平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为二、定积分在几何中的应用举例8例1求由抛物线所围成的平面图形
4、的面积A.解:由得交点9例2.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点10例3.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有11例4.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式122.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为13对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.14心形线例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线15（2）已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直
5、于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积(微元)元素为因此所求立体体积为上连续,16特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有17例7两个半径为R的圆柱体中心轴垂直相交，求它们公共部分的体积V.解:由对称性，我们只画出该图形的1/8并建立坐标系如图，图中正方形截面面积：体积微元：公共部分的体积18例8一个平面图形由双曲线xy=a(a>0)与直线x=a、x=2a及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积： （1）x轴（2）直线y=1(3)y轴解：（1）分割区间[a,2a],任取子区间[x,x+dx]
6、.过点x,x+dx分别作垂直于x轴的平面，则该立体被这两个平面截出一个“薄片”，其上下底面近似相等，所以可以近似地看成一个圆柱体。其底面积为19例8一个平面图形由双曲线xy=a(a>0)与直线x=a、x=2a及x轴围成，计算该图形绕下列直线旋转一周所产生的旋转体体积： （1）x轴（2）直线y=1(3)y轴高为dx，于是体积微元所求旋转体体积为20（2）过x,x+dx且垂直于x轴的两平面截出该立体的一个“薄片”，其上下底面均为圆环，面积看做近似相等，所以该“薄片”体积的近似值，即所求的体积微元为积分即得旋转体的体积为21（3）分割区间[a,2a],任取子区间[x,x+dx].把该子
7、区间对应的小曲边梯形近似地看成是小矩形。因而它绕y轴转一周产生的立体可以看成是一个内半径为x，外半径为x+dx，高为y=a/x的“圆柱壳”。从而所求的体积微元为积分即得所求立体的体积为22三、定积分在物理中的应用举例例9有一等腰梯形闸门，下底长高为该闸门所在的面与水面垂直，且上底与水面相齐，求该闸门一侧所受到的水的压力。分析若压强是均匀的，压力F=压强P受力面积S解AB的直线方程为其上底长23例10一个半球形容器，其半径为10米,容器中盛满了水，现将容器中水全部从容器口抽出，需作
