导数概念及几何意义-

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1、■KKHOUQQNQOMTlSMKNQ・》IN固星础w1、函数的概念：设A、3是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/，使对于集合A中的任意一个数兀，在集合3中都有唯一确定的数/（方和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（jd,xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与兀的值相对应的丿值叫做函数值，函数值的集合｛

2、xeA｝）叫做函数的值域.2、判断函数的单调性有哪几种方法：定头法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减''等.知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率

3、：一般地，已知函数y=/（x）,a0,州是其定义域内不同的两点，记Ax=x,-x0,Ay=^-y0=/U.）-/Uo）=.f（x0+^x）-f（x0）,则当心工0时，商・/（兀+山）7（勺）=生称作函数AxAxy=fM在区间［心，兀+Ar］（或［x0+Ar,x0］）的平均变化率.2.函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数y=f（x）在兀附近有定义，当自变量在“兀附近改变量为心时函数值相应的改变△『=/（%+心）-/（兀），如果当心趋近于0时，平均变化率0=/（兀+心）一/（兀）趋近&心于一个常数/（也就是说平均变化

4、率与某个常数/的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数/称为函数.f（X）在点x（）的瞬时变化率.“当Ar趋近于零时,/（兀+心）一/（兀）趋近于常数广可以用符号“T”记作:Ar“当心TO时，/（兀+心）_/。°）->厂,或记作“血/（兀+心）_/（兀）=严,符号“—，，读作“趋近于【ArxtoAr函数在X。的瞬时变化率，通常称为/（兀）在x=x0处的导数，并记作ZrUo）.二、导数的几何意义：设函数y=fW的图象如图，43为过点A（x0,/（x0））与B（x（）+心Jg+Ax））的一条割线.rti

5、此割线的斜率是怂=/（兀4•心）一/（兀）,可知曲线割线的斜率就是函数的平均AxAr变化率.当点B沿曲线趋近于点A时，割线绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线血叫做此曲线过点A的切线，即：lim/此+心）一/（如）=切线AQ的斜率.&->oAx曲线y=fM过点（x（）,/a）））切线的斜率等于/do）•“当心t（）时，/（禺+心）一/（斗））Axt/QJ'或7曲/（勺+37（心Av—>0Ar=fW1、函数的导数与函数的单调性:(1)若f(x)>0,则于(x)为增函数；若r(x)<0,则于(兀)为减函数;

6、若f(x)=0恒成立，则/(x)为常数函数；若/'(X)的符号不确定，则/(兀)不是单调函数。(2)若函数y=f(x)在区间(°,历上单调递增，贝lJ/(x)>0,且在(a,b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y=f(x)在区间a，历上单调递减，则/«0的解集与函数y=f(x)定义域的交集，就是y=f(x)的增区间;不等式广(兀)<0的解集与函数y=/(x)定义域的交集，就是y=/(x)的减区间.2、由导数的定义求函

7、数=/(%)的导数的一般方法是：(1)•求两数的改变量Af=/(x+At)-/(x);(2).求平均变化率—=/(X+M0~/(X);(3)取极限，得导数/=Rm—oAxAx心->0Ax3、求曲线在一点处的切线的一般步骤：①求111P点的坐标；②求出函数在点无处的变化率广(兀)=lim/(兀+心)一/(兀)=k得到曲线在点(x0,/(x0))的切线的斜率;心->0Ax③利用点斜式求切线方程。4、复合函数的导数：设函数况=讥X)在点x处有导数心=屮3，幣数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y；=ff(u)，则复合

8、函数y=f妙(兀)］在点%处有导数，且X=y：•u；.5、几种常见函数的导数：(1)U=O(C为常数)(2)(无")'=n/,_1(ngQ)(3)(sinx)r=cos%⑷(cosx)z=-sinx(5)(Inx=丄X(6)(logflx)/=-logrte⑺(ex=ex(8){axy=axIn6/6、导数的四则运算法则：｛u+vy=u^v'(uvy=u'v+uv^(-Y=liv~uvVV7、求可导函数/(兀)极值的步骤：极值的判别方法：当函数/(力在点勺处连续时，①如果在必附近的左侧f(x)>0,右侧f(x

9、)<0,那么/(勺)是极大值;②如果在勺附近的左侧fx)<0,右侧f(x)>0,那么/(必)是极小值.也就是说勺是极值点的充分条件为勺点两侧导数异号，而不是广(兀)二0.典型习题精讲精练1、已知函数f（x）=2x2-］的图象上一点（1,1）及邻近一点（1+心,1+△），）,则型等于（）AxA.4B・4AxC.4+2AxD・4+2心?2、如果质点M按规律S=3+r运动，则