导数概念及其几何意义2

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1、3.1.3导数的概念和几何意义（1）一、教学目标(一)知识目标1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.2．通过函数图象直观了解导数的几何意义.（二）能力目标掌握用定义法求函数的导数的一般步骤，并能利用函数的导数知识解决一些应用性问题.（三）情感目标通过“极限法”的学习，提高学生的数学素质，加强学生分析问题和解决问题的能力，认识事物之间的相互联系，会用联系的观点看问题.二、教学重点导数的定义与求导的方法.三、教学难点对导数概念的理解.四、教学过程：（一）复习引入师：前面我们研究了两类问题，一类来自物

2、理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.你们能否将这两类问题所涉及的共性表述出来？生：这两类问题都涉及到以下几件事：（1）一个函数f（x）；（2）f（x+d）－f（x）；（3）；（4）当d趋于0时，趋于一个确定的常数.师：很好，我们发现上述两类问题虽然来自的学科领域，但有着相同的数学模型，今天我们就一起来研究这个数学模型——导数的概念和几何意义.（二）探求新知1.增量、变化率的概念对于函数是函数图象上的一点，是另一点，自变量从x0变化为x1时，相应的函数值有y0变为y1，其中x1－x2叫做自变量x的增量，记为△x，y1－y0叫做函数的增量（也叫函数的差分），

3、记为△y，则叫做函数的变化率（或函数在步长为△x的差商）.★光滑曲线上某点切线的斜率的本质——函数平均变化率的极限.★物体运动的瞬时速度的本质——位移平均变化率的极限.2．导数定义设函数在包含x0的某个区间上有定义，如果比值在d趋于0时，（d≠0）趋于确定的极限值，则称此极限值为函数在x=x0处的导数或微商，记做.上述定义的符号表示为：.这个表达式读作“d趋于0时，趋于.简单地说：函数的瞬时变化率，在数学上叫做函数的导数或微商.★也是关于x的函数，叫做函数的导函数.3．求导数的步骤（1）求函数的增量；（2）求平均变化率=；（3）令△x→0，差商→.4．导数的几何意义函数在点x0处的导数的几何意

4、义，就是曲线在点P（x0，）处的切线的斜率.5．导数的物理意义函数在点t0处的导数的物理意义是运动物体在时刻t0处的瞬时速度.（三）讲解例题例1国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图所示（图中W1（t），W2（t）分别表示甲、乙企业在时刻t的排污量）.试问哪个企业的治污效果较好？分析：本题主要体现差商（即差分和对应步长的比）定义在现实生活中的运用，要想知道哪个企业的治污效果好，关键看平均治污率，平均治污率越大，治污效果越好.解：在时刻t1处，虽然W1（t）=W2（t），即排污量相同，但是考虑到一开始有W1（t0）＞W2（t0），所以有说明在单位时间里企

5、业甲比企业乙的平均治污率大.即企业甲的治污效果要好一些.例2投石入水，水面产生圆形波纹区.圆的面积随着波纹的传播半径r的增大而增大（如图），计算：（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积相对于r的平均变化率；（2）半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率.分析：本例中的题（1）是求变化中的几何图形（圆）面积的平均变化率。它同例1及我们前面讨论过的运动物体的平均速度，以及函数曲线的割线斜率一样，从数学的角度看，都是函数值的改变量与对应的自变量的改变量的比，即差商。而题（2）则是求圆面积的瞬时变化率，实际实际上就是求函数的瞬时变化率.而它与我们已经较为熟悉的瞬时速度，切线的斜率等都是相应函数的瞬时变

6、化率。利用本例，课本给出了函数导数的概念，而学生则又一次体验寻求瞬时变化率（即平均变化率在某点处的极限）的过程.有利于学生更深刻理解导数的概念.解：（1）半径r从a增加到a+h时，圆面积从增加到，其改变量为，而半径r的改变量为h，两者的比就是所求的圆面积相对于半径r的平均变化率：.（2）在上面得到的平均变化率表达式中，让r的改变量h趋于0，得到半径r=a时，圆面积相对于r的瞬时变化率为2a.例3在初速度为零的匀加速运动中，路程s和时间t的关系为.（1）求s关于t的变化率，并说明其物理意义；（2）求运动物体的瞬时速度关于t的变化率，说明其物理意义.分析：本题是导数概念在物理学中的运用，题（1）直

7、接利用导数的定义运算得出位移函数s关于时间t的导数（即运动物体的瞬时速度），而题（2）则是求瞬时速度关于时间t的瞬时变化率（运动物体的加速度）.通过本例，一方面加深学生对导数定义的理解，另一方面则从数学的角度对加速度作了较为严格的定义.解：（1）s关于t的变化率就是函数的导数.按定义计算有，当d趋于0时，此式趋于at，即从物理上看，s关于t的变化率at就是运动物体的瞬时速度.（2）运动物体的瞬时速