2导数概念、几何意义

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1、§2.1导数的概念姓名一、学习目标：1•理解瞬时变化率的含义，并知道瞬时变化率就是导数.2•会求函数/U）在某一点工°处的导数，理解导数的实际意义。二、学习过程（一）复习：设函数y=/（%）,当自变量x从禺变到同时，函数值从/（心）变到/（西），函数值y关于x的平均变化率为△y二/（西）一/（兀0）二/（兀。+心）一/（兀（））AxX,-x0Ax当爼趋于必，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个（这个值称为：当爼趋于X。时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数y=f（x）在点必的。（二）探究新知在数学上，称瞬时变化

2、率为函数y=/（x）在点必的,通常用符号广（兀。）表示，记作广（花）==。（三）例题分析例1一条水管中流过的水量y（单位：沪）是时间*（单位：s）的函数y==3x。求函数y=f（x）在a=2处的导数广（2）,并解释它的实际意义。【思路探究】先求在区间［2,］上的平均变化率，再求当趋于0时的平均变化率的趋近值.或先求在区间［2-Ax,］上的平均变化率，再求当△兀趋于0时的平均变化率的趋近值.解:当x从2变到时，函数值从3X2变到,函数值y关于x的平均变化率为===3（m3/s）.尤在区间［2,2+山］上取值，当x趋

3、于2,即趋于0时，，平均变化率趋于3,所以/'（2）=3（m3/s）・导数/'（2）表示当尸—s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以（瞬时水流速度（量））a=2s时的瞬时速度流动的话，每经过Is,水管中流过的水量为3m-o例2—名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（单位：kg）是其工作时间x（单位:h）的函数y=/（兀）。假设函数y=/（x）在x=l和x=3处的导数分别为广⑴=4和广⑶=3.5,试解释它们的实际意义。分析：ro）=iim/（1+^-/（1）=4Av->03

4、f（3）=li訂（3+心）十⑶=3.5山一》0Ax解：=4表示该工人工作h的时候，其生产速度(即工作效率)为4kg/h,也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4血的食品。/'(3)=3.5表示该工人上班后工作h的时候,，其生产速度为3.5kg/h,也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。(瞬时生产速度(效率、工作量))例3服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：Ug/mL)是时间t(单位：min)的函数y=/(/),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数

5、分别为广(10)=1.5和r(100)=-0.6,试解释它们的实际意义。解：广(10)=1.5表示服药后—min时，血液中药物的质量浓度的速度为1.5ug/(mLmin)。也就是说，如果保持这一速度，每经过lmin,血液中药物的质量浓度将上升1.5ug/(mL・min)。广(100)=-0.6表示服药后min时，血液中药物的质量浓度—的速度为0.6ug/(mL・min)。也就是说，如果保持这一速度，每经过lmin,血液中药物的质量浓度将下降0.6ug/(mL•min)o(瞬时药物浓度)例4求函数y=心在兀=1处的

6、导数.【思路探究】先求在区间11,1+AxJ上的平均变化率，再求当A兀趋于0时的平均变化率的趋近值.【自主解答】IAy=,・型==•・Ax__，当血趋于。时，皓*石趋于——/.函数y=五在x=1处的导数为・心一＞0lim型=Ax小结：本题中用到了分子有理化的技巧，主要目的是債近值容易求出.切忌算到血半二1时，就下结论：当2趋于0时，分子分母的值都趋于0,所以整个式子的值不确定.(四)课堂练习1•函数在某一点的导数是()B.一个函数D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比

7、C.一个常数，不是变数22.函数y=3x在x=1处的导数为()A.2B.4C・6D.123.已知函数Rx)=ax+4,若尸(1)=2,则a等于4.若f(xo)=Off(x0)=4,则lim"町严)=.J.v-05.课本33页练习2(五)总结：利用导数的定义求函数的导数的方法步骤：①②③§2.2导数的几何意义(1)姓名一、学习目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。二、学习过程（一）复习导数的概念：设函数y=/（x）,当自变量/从/变到必

8、时，函数值从/（兀。）变到/（X,）,函数值y关于/的平均变化率为M=/（兀1）一/（兀0）=/（无）+心）一/（兀0）Ax%]-x0Ax当总趋于及，即趋于0时，如果平均变化率趋于一个（这个值称为：当更趋于X。时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数y=/（尢）在点必的在数学上，称瞬时变化率为函数j=/（%）在点必的,通常用符号广（X。）表示，记作广（兀0）=曲线在点P