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1、<<高等数学>>教案课型：讲授章节第二章导数与微分第一节导数及其运算1·导数的概念及导数的几何意义教学目的：1、理解导数定义，能够运用定义求解简单函数的导数2、了解导数的几何意义，会求曲线在某点的切线和法线方程3、掌握可导与连续的关系，判别函数在某点的可导性与连续性教学重点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学难点：1、导数定义，包括函数在某点与在某区间的定义，单侧导数的定义2、导数的几何意义，求切线方程与法线方程教学过程：1、简介微积分的组成，微分与积分的区别2、引入
2、导数概念3、给出导数定义（1）函数在某点导数的定义（2）函数在某区间导数的定义（3）单侧导数的定义4、求导数举例5、导数的几何意义6、求切线和法线方程举例7、可导与连续的关系8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性9、课堂小结10、布置作业§1导数及其运算一、导数的概念1、导数的引入设一质点在坐标轴上作非匀速运动,时刻t质点的坐标为s,s是t的函数:s=f(t),求动点在时刻t0的速度.考虑比值,这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度.如果时间间隔选较短,这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度.但这样做是不精确的,
3、更确地应当这样:令t-t0®0,取比值的极限,如果这个极限存在,设为v,即,这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.2、导数的定义从上面所讨论的两个问题看出,非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:.令Dx=x-x0,则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)=f(x)-f(x0),x®x0相当于Dx®0,于是成为或.导数的定义设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义,当自变量x在x0处取得增量Dx时,相应地函数y取得增量Dy=f(x0+Dx)-f(x0)，如果当Dx®0时，的极限存在,则称这个极限为函数y=f(x)在点x0
4、处的导数,记作,即,也可记作,或.函数f(x)在点x0处有导数（即极限存在），有时也说成f(x)在点x0可导.如果极限不存在,就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于Dx®0时,®也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.导数的定义式也可取不同的形式,常见的有,.在实际中,需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题,在数学上就是所谓函数的变化率问题.导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.如果函数y=f(x)在开区间（a，b）内的每一点都可导,就称函数y=f(x)在开区间（a，b）内可导,这时,对于开
5、区间（a，b）内的任一点x,都对应着一个确定的导数.这样就构成了一个以（a，b）为定义域的新函数,这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数,简称导数，记作,,,或.即=或f¢(x0)与f¢(x)之间的关系:函数f(x)在点x0处的导数f¢(x)就是导函数f¢(x)在点x=x0处的函数值,即.导函数f¢(x)简称导数,而f¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f¢(x)在x0处的值.左右导数:所列极限存在,则定义f(x)在的左导数:=;f(x)在的右导数:=.左导数和右导数统称为单侧导数.导数与左右导数的关系:函数f(x)在点x0处可导的
6、充分必要条件是左导数左导数f¢-(x0)和右导数f¢+(x0)都存在且相等.如果函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且右导数f¢+(a)和左导数f¢-(b)都存在,就说f(x)有闭区间[a,b]上可导..3、求导数举例例1．求函数f(x)=C（C为常数）的导数.解:.即(C)¢=0.例2.求的导数.解:.例3.求的导数.解:.例2．求函数f(x)=xn(n为正整数)在x=a处的导数.解:f¢(a)(xn-1+axn-2+×××+an-1)=nan-1.把以上结果中的a换成x得f¢(x)=nxn-1,即(xn)¢=nxn-1.(C)¢=
7、0,,,.更一般地,有(xm)¢=mxm-1,其中m为常数.例3．求函数f(x)=sinx的导数.解:f¢(x).即(sinx)¢=cosx.用类似的方法,可求得(cosx)¢=-sinx.例4．求函数f(x)=ax(a>0,a¹1)的导数.解:f¢(x).特别地有(ex)=ex.例5．求函数f(x)=logax(a>0,a¹1)的导数.解:.解:.即.:特殊地.,.例6．求函数f(x)=
8、x
9、在x=0处的导数.解:,,因为f¢-(0)¹f¢+(0),所以函数f(x)=
10、x
11、在x=0处不可导.二、导数的几何意义设有曲线C及C上的一点M,
12、在点M外另取C上一点N,作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时,如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT,直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线.设曲线C就是函数y=f(x)的图形.现在要确定曲线在点M(x0,y
