导数概念及几何意义-.doc

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1、导数的概念及其应用■KKMOUaaHQOuTISMKNQ■■■•IN固星础1、函数的概念：设久3是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系/，使对于集合4中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数于（0和它对应，那么就称f.AiB为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f（x）^xeA.其中，x叫做自变量，x的取值范阖A叫做函数的定义域：与无的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合｛f（x）xeA｝｝叫做函数的值域.2、判断函数的单调性有哪几种方法：定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“同增异减''等.―知识讲解—、导数的概念1.函数

2、的平均变化率：一般地，已知函数y=/（x）,x0,x,是其定义域内不同的两点，记Aa-=x（-x0,=/U,）-/（x0）=/（xo+Ar）-/（xo）,则当心工0时，商/刍+山）-/（如=冬称作函数AxAxy=.f（无）在区间［Xq,Xq+Ax］（或［禺+Ar,兀］）的平均变化率.2.函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数v=./（a）在忑附近有定义，当自变量在x=附近改变量为Ax时函数值相应的改变△）=/（兀+心）-/（兀），如果当山趋近于0时，平均变化率鱼=几互1心）一/刍）趋近ArAr于一个常数/（也就是说平均变化率与某个常数/的

3、差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数/称为函数/（X）在点心的瞬时变化率.“当2趋近于零时，/铉’心）-沁趋近于常数I，，可以用符号“T”记作：Ar“当心-＞（）时，/锂.心）-/如t/，，,或记作“巾“/乞十心「/如=/，，,符号“—，，读作“趋近于”.ArAt函数在X。的瞬时变化率，通常称为/（兀）在兀处的导数，并记作广（比）.二、导数的几何意义：设函数y=/（x）的图象如图，佔为过点A（x0,/（x0））与3（兀+心，/（如+Ar））的一条割线.由此割线的斜率是冬=/如"心）广（如,可知曲线割线的斜率就是函数的平均

4、AvAx变化率.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫做此曲线过点4的切线，即：lim/^）=切线AD的斜率.心®Ax曲线y=/（x）过点（x0,/（x0））切线的斜率等于广（瓦）•“当Ax—0时，/(•m)-，或，Jim/g+Ar)—/g)Ax心->oAx1、函数的导数与函数的单调性:(1)若fx)>0,则/(x)为增函数；若f(x)<0,则/(x)为减函数；若f(x)=0恒成立，则/(X)为常数函数；若fx)的符号不确定，则/(x)不是单调函数。(2)若函数y=J(x)在区间⑺，方)

5、上单调递增，则/(x)>0,且在(°,方)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y=/U)在区间(Gb)上单调递减，则/(兀)SO,且在(Gb)的任意子区间，等号不恒成立.(3)利用导数求函数单调区间的方法:不等式广(兀)>0的解集与函数y=f(x)定义域的交集，就是y=f(x)的增区间;不等式f(x)<0的解集与函数y=/(x)定义域的交集，就是y=/(x)的减区间.2、由导数的定义求函数J=/(%)的导数的一般方法是:(1).求函数的改变量Af=/(x+Ar)-/(x);(2).求平均变化率仝£=/(x+△・)=/("；(3)取极限，得

6、导数『=1曲竺。AxAjcAx3、求曲线在一点处的切线的一般步骤：%1求出P点的坐标；%1求出函数在点兀。处的变化率广(勺)=lim/(乞屯心)二丄(勺)=k得到曲线在点(勺,/(兀))的切线的斜率;心toAr%1利用点斜式求切线方程。4、复合函数的导数:设函数％=屮3在点尢处有导数心=0‘(兀)，函数y=/(%)在点兀的对应点”处有导数y；=f(u),则复合函数y=f[^(x)]在点x处有导数,且X=y：・応.5、几种常见函数的导数：(1)U=O(C为常数)(cosx)'=-sinx⑵(x")‘=njixX(ngQ)(3)(sinx)

7、r=cosx(5)(Inx=-X⑹(logaX)Z=丄loga0X⑺(exy=ex6>导数的四则运算法则：+=(uv=u'v+uv'川、,u'v-uv'7、求可导函数/(x)极值的步骤：极值的判别方法：当函数/(Q在点勺处连续时,①如果在勺附近的左侧fx)>0,右侧fx)<0,那么/(“))是极大值;②如果在勺附近的左侧广(x)<0,右侧f(x)>0,那么/(勺)是极小值.也就是说勺是极值点的充分条件为必点两侧导数异号，而不是f(x)=0.典型习题精讲精练1、已知函数/（x）=2x2-1的图象上一点（1,1）及邻近一点（l+Ax

8、,l+3）,则竺等于（）AxA.4B・4AxC.4+2AxD.4+2Ax22、如果质点M按规律S=3+f2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（）A.4B.4.1C.0.41D.33、如果质