4、置关系/y一例1在椭圆才+〒=1上求一点P，使它到直线1：3x—2y—16=0的距离最短，并求出最短距离.3解设与椭圆相切并与1平行的直线方程为y=-x+^22代入令+#1,并整理得4#+3财+/—7=0,A=9〃/—16(//—7)=0=>/;/=16=>/〃=±4,33故两切线方程为尸=討+4和y=]x—4,3显然尸討一4距1最近，
5、16~8
6、__8__8^13萌+_22=肩=13'切点为/0，—弓.反思与感悟本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题•解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y
7、或丸得到关于/或y的一元二次方程，贝9(1)直线与椭圆相交。力〉0；⑵直线与椭圆相切OM=0；(3)直线与椭圆相离O/R0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练1己知椭圆/+8/=8,在椭圆上求一点只使戶到直线厶x-y+A=0的距离最短，并求出最短距离.解设与直线/—y+4=0平行且与椭圆相切的直线为x—y+白=0,[x+8y=8,联立方程
8、得9y—2ay+a—8=09y十日=0,力=4/—36&—8)=0,解得日=3或$=—3,•••与直线/距离较近的切线方程为x—y+3=0,最小距
9、离为d=
10、4~3
11、^2帀_2・/+8/=8,久―y+3=0,O1即P(一亍3k题型二直线与椭圆的相交弦问题例2已知点"(4,2)是直线，被椭圆彩+$=1所截得的线段的中点，求直线/的方程.369解由题意知直线/的斜率存在，所以可设直线/的方程为尸一2=斤匕一4),而椭圆的方程可以化为#+”一36=0.将直线方程代入椭圆方程有(4#+1)#—％(4力一2)x+4(4k—2尸一36=0.Rk4£—?i所以Xl+x-————=8,所以k=--所以直线/的方程为y-2=-
12、(x-4),即卄2y-8=0.反思与感悟研究直线与椭
13、圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练2在椭圆#+4#=16屮，求通过点弭(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程.解方法一如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M2,1)显然不可能为这条弦的中点.故可设弦所在的直线方程为尸=斤匕一2)+1,代入椭圆方程得,+4[&匕一2)+1『=16,即得(1+4#)#—(16#—8&X+16#—16&—12=
14、0,•・•直线与椭圆有两个交点，故4=16(12护+4&+3)>0,[打1又上+曲=]
15、,庐=4,解得k=—刁满足4>0.•I直线方程为卄2y—4=0.方法二设弦的两个端点分别为户(眉，门)，05,比)，则山+应=4,必+比=2,VP{x,ji),Q(X2,乃)在椭圆上，故有彳+4说=16,£+4務=16,两式相减得（%1+A2）（%1—A2）+4（/1+/2）（口一刃）=0,•・•点M2,1）是図的中点,故应工曲，V—妁两边同除（山一疋）得，（/1+曲）+4（yi+比）一=0,即4+8&=0,/.k=—-x—
16、X22・•・弦所在的直线方程为y~i=一*匕一2）,即卄2y—4=0・题型三椭圆中的最值（或范围）问题例3己知椭圆4,+/=1及直线y=x+m.（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数刃的取值范围；（2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.[4a-2+/=1,”解（1）由{得5/+2〃ay+〃/—1=0,y=x~~m因为直线与椭圆有公共点，所以4
