苏教版高中数学选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（2．2.2　椭圆的几何性质）word学案

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1、www.ks5u.com2．2.2　椭圆的几何性质(二)[学习目标]　1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．[知识链接]已知直线和椭圆的方程，怎样判断直线与椭圆的位置关系？答：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的解的个数来确定，通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方程的根的判别式来判断．Δ>0⇔直线和椭圆相交；Δ＝0⇔直线和椭圆相切；Δ<0⇔直线和椭圆相离．[预习导引]1．点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y＝kx

2、＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消y得到一个关于x的一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<03.弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝.或AB＝.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程得到．要点一　直线与椭圆的位置关系例1　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．解　

3、设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y＝x－4距l最近d＝＝＝，切点为P.规律方法　本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪演练1　已知椭圆＋＝1，直线l：4x－

4、5y＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解　如图，由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交．设直线m平行于直线l，则直线m的方程可以写成4x－5y＋k＝0.①由方程组消去y，得25x2＋8kx＋k2－225＝0.②令方程②的根的判别式Δ＝0，得64k2－4×25(k2－225)＝0.③解方程③得k1＝25，或k2＝－25.由图可知，当k＝25时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，此时直线m的方程为4x－5y＋25＝0.直线m与直线l间的距离d＝＝.所以，最小距离是.要点二　直线与椭圆的相交弦问题例2　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1

5、＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．解　方法一　设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.而＝－1，＝kOC＝，代入上式可得b＝a.再由AB＝

6、x2－x1

7、＝

8、x2－x1

9、＝2，其中x1、x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，故()2－4·＝4，将b＝a代入得a＝，∴b＝，∴所求椭圆的方程是＋＝1.方法二　由得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则AB＝＝·.∵AB＝2，∴＝1.①设C(x，y)，则x＝＝，y＝1－

10、x＝，∵OC的斜率为，∴＝.代入①，得a＝，b＝.∴椭圆方程为＋y2＝1.规律方法　处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪演练2　已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点．(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．解　(1)由已知可得直线l的方程为y－2＝(x－4)，即y＝x.由可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2

11、＝0，x1x2＝－18.于是AB＝＝＝＝×6＝3.所以线段AB的长度为3.(2)方法一　设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x－4)．联立消去y得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.方法二　设A(