2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（二）学案 苏教版选修2-1

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1、2.2.2　椭圆的几何性质(二)学习目标　1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一　点与椭圆的位置关系已知点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)．(1)当P在椭圆外时，＋>1；(2)当P在椭圆上时，＋＝1；(3)当P在椭圆内时，＋<1.知识点二　直线与椭圆的位置关系思考1　直线与椭圆有几种位置关系？答案　有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2　如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？答案　联立消去y得关于x的一元二次方程，则位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相

2、切一解Δ＝0相离无解Δ<0梳理　(1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．AB＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．1．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√)2．

3、直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(√)3．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)4．直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)类型一　点、直线与椭圆位置关系的判断例1　已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．答案　∪解析　依题意得，＋>1，解得k<－或k>.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1，k)”呢？答案　∪解析　依题意得，＋>1，解得k2>，即k<－或k>.反思与感悟　处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解

4、不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1　已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．答案　9解析　依题意得，＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4＝5＋＋≥5＋2＝9，(当且仅当n＝2m时等号成立)故m＋n的最小值为9.例2　对不同的实数m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　由消去y，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，Δ＝64m2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2)．当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；当m＝－或

5、m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．反思与感悟　判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2　在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．考点　直线与椭圆的位置关系题点　直线与椭圆的公共点个数问题解　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪.类型二　弦长

6、及中点问题例3　已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．解　方法一　根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝.又M为线段AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.经检验，当k＝－时，(*)式的判别式Δ＞0.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二　点差法设A(x1，y1)，B(x

7、2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.∴＝－＝－＝－，即直线AB的斜率kAB＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法三　对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y)．∵A，B两点都在椭圆上，∴①－②，得x＋2y－4＝0.即点A的坐标满足这

8、个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.引申探究在