2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质（二）学案 苏教版选修2-1

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1、2．2.2　椭圆的几何性质(二)[学习目标]　1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题．知识点一　点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔＋＝1；点P在椭圆内部⇔＋<1；点P在椭圆外部⇔＋>1.知识点二　直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立消去y得到一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三　弦长公式设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或

2、＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝，∴AB＝＝＝，或AB＝＝＝.其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得．题型一　直线与椭圆的位置关系例1　在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．解　设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m，代入＋＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m2－7)＝0⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4，显然y

3、＝x－4距l最近，d＝＝＝，切点为P.反思与感悟　本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练1　已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．解　设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2－36(

4、a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3，∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0，最小距离为d＝＝.由得即P(－，)．题型二　直线与椭圆的相交弦问题例2　已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．解　由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－.所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.反思与感悟　研究直线与椭圆相交的关系问题的

5、通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练2　在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程．解　方法一　如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x轴，则点M(2,1)显然不可能为这条弦的中点．故可设弦所在的直线方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得x2＋4[k(x－2)＋1]2＝16，即得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(1

6、2k2＋4k＋3)>0，又x1＋x2＝＝4，解得k＝－，满足Δ>0.∴直线方程为x＋2y－4＝0.方法二　设弦的两个端点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆上，故有x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∵点M(2,1)是PQ的中点，故x1≠x2，两边同除(x1－x2)得，(x1＋x2)＋4(y1＋y2)＝0，即4＋8k＝0，∴k＝－.∴弦所在的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.题型三　椭圆中的最值(或范

7、围)问题例3　已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解　(1)由　得5x2＋2mx＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，所以AB＝＝＝＝＝.所以当m＝0时，AB最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x.反思与感悟　解析几何中的综合性问题很