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《2018版高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质一学案苏教版选修2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2 椭圆的几何性质(一)[学习目标] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象．知识点一 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±，0)(0，±)焦距F1F2＝2对称性对称轴：x轴、y轴 对称中心
2、：原点离心率e＝∈(0,1)知识点二 离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆．题型一 椭圆的简单几何性质例1 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标．解 把已知方程化成标准方程为＋x2＝1，则a＝5，b＝1.所以c＝＝2，因此，椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝2，两个焦点分别是F1(0，－2)，F2(0,2)，椭圆的四个顶点分别是A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－1,0)，B2(1,0)．反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，
3、c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质．跟踪训练1 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解 椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为＋＝1.∵m2<4m2，∴>，∴椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距长c＝.∴椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为(－，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(－，0)，(0，－)，(0，)．离心率e＝＝＝.题型二 由椭圆的几何性质求方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)已知椭圆
4、的离心率为e＝，短轴长为8.解 (1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由e＝＝得c＝a，又2b＝8，a2＝b2＋c2，所以a2＝144，b2＝80，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法．跟踪训练2 椭圆过点(3,0)，离心率e＝，求椭圆的标准方程．解 ∵所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一
5、个顶点．①当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a＝3，∵e＝＝，∴c＝a＝×3＝，∴b2＝a2－c2＝32－()2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为＋＝1.②当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b＝3，∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝a2－c2＝a2－a2＝a2，∴a2＝3b2＝27，∴椭圆的标准方程为＋＝1.综上可知，椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.题型三 求椭圆的离心率例3 如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F
6、1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，且△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，F1F＋MF＝MF，即4c2＋b2＝MF.而MF1＋MF2＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.所以e2＝＝＝1－＝，所以e＝.反思与感悟 求椭圆离心率的方法：①直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．②若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．跟踪训练3 已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求
7、椭圆C的离心率．解 若焦点在x轴上，得解得∴c＝＝＝2，∴e＝＝；若焦点在y轴上，得得∴c＝＝＝10，∴e＝＝＝.故椭圆C的离心率为.1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．答案 (0，±)解析 由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．2.如图，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为________．答案 解析 ∵x－2
