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《2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.2 椭圆的几何性质学案 苏教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2 椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的简单几何性质．(重点)2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．(难点)3.会用椭圆的方程及性质处理一些实际问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]教材整理1 椭圆的简单几何性质阅读教材P34，完成下列问题．焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称轴x轴，y轴对称中心(
2、0,0)离心率e＝(0＜e＜1)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.( )(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.( )(3)椭圆的长轴，短轴就是x轴和y轴．( )(4)椭圆＋y2＝1中，变量x的范围是[－2,2]．( )[解析] (1)＋＝1(a>b>0)的长轴长等于2a，故错误；(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c，最大值为a＋c，故正确；(3)椭圆的长轴和短轴是线段，而不是直线，故错误；(4)椭圆＋y2＝1中，a＝，故x的范围是[－，]，故错误．[答案] (1)× (2
3、)√ (3)× (4)×教材整理2 离心率阅读教材P34～P35例1以上部分，完成下列问题．1．定义：焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率．2．范围：e＝∈(0,1)．3．作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆．填空：(1)椭圆＋＝1的离心率是________．(2)两个椭圆＋y2＝1和＋＝1中，更接近于圆的是________．(3)椭圆＋＝1(a>2)的离心率e＝，则实数a的值为________.【导学号：71392064】[解析] (1)＋＝1中，a＝2，c＝＝1，所以离心率e＝.(2)椭圆＋
4、y2＝1的离心率e1＝，椭圆＋＝1的离心率e2＝.因为e1>e2，所以椭圆＋＝1更接近于圆．(3)因为a>2，所以e＝＝，解得a＝2.[答案] (1) (2)＋＝1 (3)2[合作探究·攻重难]由椭圆的方程求其几何性质 (1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．[精彩点拨] 分清椭圆的焦点所在的轴，确定a，b后研究性质．[自主解答] (1)把椭圆2x2＋3y2＝12化为标准方程，得＋＝1，易知a2＝6，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝2，∴c＝，
5、故2c＝2.[答案] 2(2)椭圆的方程可化为x2＋＝1，∴a＝9，b＝1，∴c＝＝＝4，∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2.∵椭圆的焦点在y轴上，故其焦点坐标为F1(0，－4)，F2(0,4)，顶点坐标为A1(0，－9)，A2(0,9)，B1(－1,0)，B2(1,0)，e＝＝.[名师指津] 研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质.[再练一题]1．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离
6、心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标.【导学号：71392065】[解] 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，因为m－＝>0，所以m>，所以焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝，得e＝＝＝，所以m＝1.所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.所以a＝1，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.由椭圆的几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是；(2)中心在原点，焦点
7、在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[精彩点拨] →→→[自主解答] (1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)．由已知得2a＝6，∴a＝3.又e＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，且两焦点为F′(－3，0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且
8、OF
9、＝c，
10、A1A2
11、＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18.∴椭圆的标
12、准方程为＋＝1.[名师指津] 由椭圆的几何性质求方程的方法步骤(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程
