2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质学案苏教版

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1、2.2.2　椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质．(重点)　2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点)　3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)离心率e＝(0＜e＜1)2.椭圆

2、的离心率[基础自测]1．判断正误：(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.(　　)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　)(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)【解析】　(1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a.(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.(3)√.离心率e＝越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆．【答案】　(1)×　(2)√　(3)√2．椭圆＋＝1的离心率是________.【导学号：95902089】【解析】　由方程可知a2＝25，a＝5，c2＝a2－b2＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝＝.【答案】　[

3、合作探究·攻重难]已知椭圆方程求其几何性质　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路探究]　→→→【自主解答】　椭圆方程可化为＋＝1.∵m－＝>0，∴m>，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.[规律方法]　用标准方程研究几何性质的步骤⇓⇓⇓[跟踪训练]1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.【导学号：

4、95902090】【解】　把已知方程化成标准方程＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝＝，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程　(1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点C在椭圆上，则椭圆的标准方程为__________．(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的标准方程为________．[思路探究]　解决问题的关键是根据已知条件求出a2和b2.【自主解答】　(1)由e＝＝得＝，又c2＝

5、a2－b2，所以＝得＝.①又点C在椭圆上得＋＝1，②由①，②解得a2＝9，b2＝5.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由已知∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.【答案】　(1)＋＝1　(2)＋＝1或＋＝1.[规律方法]　1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)求出a2，b2的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．[跟踪训练]2．直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为________.【导学号：95902091】【解析】　直线

6、x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.故a2＝b2＋c2＝5，椭圆方程为＋y2＝1.【答案】　＋y2＝1求椭圆的离心率　(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为________．(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距离等于短半轴长的，则椭圆的离心率为________．[思路探究]　(1)求出点P的坐标，利用点P在椭圆上其坐标满足椭圆的方程构建关于离心率e的方程，解方程可得离心率．(2)在焦点三角形PF

7、1F2中利用椭圆的定义与勾股定理得到a，b的关系式，可求离心率；或仿照(1)题的做法也可以求解．【自主解答】　(1)依题意有P(c,2c)，点P在椭圆上，所以有＋＝1，整理得b2c2＋4a2c2＝a2b2，又因为b2＝a2－c2，代入得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3－2(3＋2舍去)，从而e＝－1.(2)方法一：设焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，依题意设M点坐标为(c，b