江苏专用2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质学案苏教版选修1_

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1、2.2.2椭圆的几何性质学习目标：1.掌握椭圆的几何图形和简单几何性质．(重点)2.感受如何运用方程研究曲线的几何性质(难点)3.能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形2222xyyx标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)2222abab范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)轴长长轴长＝2a，短轴长＝2b焦点(

2、±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴、y轴，对称中心(0,0)c离心率e＝(0＜e＜1)a2.椭圆的离心率[基础自测]1．判断正误：22xy(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a.()22ab(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()22xy【解析】(1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长等于2a.22ab(2)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.1c(3)√.离心率e＝越小c就越小，这时b就越接近于a

3、，椭圆就越圆．a【答案】(1)×(2)√(3)√22xy2．椭圆＋＝1的离心率是________.1625【导学号：95902089】2222c3【解析】由方程可知a＝25，a＝5，c＝a－b＝25－16＝9，∴c＝3，∴e＝＝.a53【答案】5[合作探究·攻重难]已知椭圆方程求其几何性质223已知椭圆x＋(m＋3)y＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短2轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路探究]把椭圆方程标准化→利用离心率求m的值→求a，b，c→求性质22yx【自主解答】椭圆方程可化为

4、＋＝1.mmm＋3mmm＋2m∵m－＝>0，∴m>，m＋3m＋3m＋322m22mm＋2即a＝m，b＝，c＝a－b＝.m＋3m＋33m＋23由e＝得＝，∴m＝1.2m＋322y2∴椭圆的标准方程为x＋＝1.1413∴a＝1，b＝，c＝.22∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；33－，0，0两焦点分别为F12，F22；110，－0，四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B12，B22.2[规律方法]用标准方程研究几何性质的步骤将椭圆方程化为标准形式⇓焦点位置⇓求出a，b，c⇓写出椭圆的几何性质[跟

5、踪训练]221．求椭圆9x＋16y＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.【导学号：95902090】22xy【解】把已知方程化成标准方程＋＝1，于是a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，∴169c7椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝，a4两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3).由椭圆的几何性质求方程5222，xy2(1)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点C3在椭圆上，则椭圆的22ab3标准

6、方程为__________．(2)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为________．22[思路探究]解决问题的关键是根据已知条件求出a和b.2c2c4222【自主解答】(1)由e＝＝得＝，又c＝a－b，2a3a9222a－b4b5所以＝得＝.①22a9a952，425又点C3在椭圆上得＋＝1，②22a9b22由①，②解得a＝9，b＝5.322xy所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.95a＝2c，a＝23，2(2)由已知∴从而b＝9，a－c＝3，c

7、＝3.2222xyxy∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.129912222222xyxyxy【答案】(1)＋＝1(2)＋＝1或＋＝1.95129912[规律方法]1．利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准、定参数”，一般步骤是：(1)22求出a，b的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．[跟踪训练]22xy2．直线x－2y＋2＝0过椭圆＋＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为22ab________.【导学号：95

8、902091】【解析】直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2.222直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)，即为椭圆的顶点，故b＝1.故a＝b＋c＝5，2x2椭圆方程为＋y＝1.52x2【答案】＋y＝15求椭圆的离心率22xy(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，若直线y＝2x与椭圆的一个交点P的22ab横坐标恰为c，则椭圆的离心率为________．2(2)已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x轴的距