江苏专用2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版选修

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1、2.2.1　椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)　2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点)　3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自主预习·探新知]椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2[基础自测]1．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)(2)方程2x2＋y2＝4表示的曲线不是椭圆．(　　)

2、(3)圆是椭圆的特殊形式．(　　)(4)方程＋＝1(a>0)，表示焦点在x轴上的椭圆．(　　)【解析】　(1)√.由椭圆方程的推导过程可知a2＝b2＋c2.(2)×.把方程2x2＋y2＝4化为标准形式为＋＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a2＞2a，即a＞2时，方程＋＝1(a＞0)才表示焦点在x轴上的椭圆，否则不是．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．a＝5，c＝3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】　∵a＝5，c＝3，∴b

3、2＝25－9＝16，又∵焦点在y轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.【答案】　＋＝1[合作探究·攻重难]求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[思路探究]　(1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】　(1)方法一：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a

4、＞b＞0)．∵2a＝＋＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有，解得.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有，解得，因

5、为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有，解得.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[规律方法]　1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．(2)与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程可设为＋＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】　由于椭圆的焦点

6、在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴，⇒.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.与椭圆有关的轨迹问题　如图221所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且P′M＝λPP′(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图221[思路探究]　设出点M和点P的坐标，根据P′M＝λPP′找到二者的联系，用点M的坐标表示点P的坐标，利用点P在圆上代入可得点M的轨迹方程，讨论λ可得点M的轨迹．【自主解答】　设M(x

7、，y)，P(x0，y0)，∵PP′⊥x轴，且P′M＝λPP′，∴x＝x0，y＝λy0，即x0＝x，y0＝y.∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.把x0＝x，y0＝y代入上式得x2＋＝1.当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.[规律方法]　求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x，y)，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P(x0，y0)是椭

8、圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．【解】　设M(x，y)，则∴∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.把代入＋＝1，得＋＝1，即＋y2＝1为所求．椭圆的定义及标准方程的应用[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式