2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版

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1、2.2.1 椭圆的标准方程学习目标:1.了解椭圆标准方程的推导过程.(难点) 2.掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求椭圆的标准方程.(重点) 3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆.[自主预习·探新知]椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)图形焦点坐标(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c2[基础自测]1.判断正误:(1)椭圆的两种标准方程中,虽然焦点位置不同,但都有a2=b2+c2.(  )(2)方程2x2+y2=4表示的曲线不是椭圆.(  )(3)圆是椭圆的特殊形式.(  )(4)方

2、程+=1(a>0),表示焦点在x轴上的椭圆.(  )【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知a2=b2+c2.(2)×.把方程2x2+y2=4化为标准形式为+=1,易知其表示的曲线是椭圆.(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误.(4)×.当a2>2a,即a>2时,方程+=1(a>0)才表示焦点在x轴上的椭圆,否则不是.【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×2.a=5,c=3,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号:95902077】【解析】 ∵a=5,c=3,∴b2=25-9=16,又∵焦点在y轴上,∴椭圆的方程为+=1.【答案】 +=1[合作探

3、究·攻重难]求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)经过点A(,-2)和点B(-2,1).[思路探究] (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解;(2)利用待定系数法求解.【自主解答】 (1)方法一:由于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).由题意得解得所以椭圆的标准方程为+=1.方法二:由于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).∵2a=+=10,∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9.故所求椭圆的标准方程为+=1.方法三:由

4、于椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).因为椭圆经过点(5,0),所以a=5,又因为椭圆的焦点为(-4,0)和(4,0),所以c=4,所以b2=a2-c2=9,故所求椭圆的标准方程为+=1.(2)方法一:①当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).依题意有,解得.故所求椭圆的标准方程为+=1.②当焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).依题意有,解得,因为a>b>0,所以无解.所以所求椭圆的标准方程为+=1.方法二:设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意有,解得.所以所求椭圆的标准方程为

5、+=1.[规律方法] 1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”2.巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).(2)与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程可设为+=1.[跟踪训练]1.求焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程.【解】 由于椭圆的焦点在y轴上,∴设它的标准方程为+=1(a>b>0).由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),∴,⇒.故所求椭圆的标准方程为+x2=1.与椭圆有关的轨迹问题 如图221所示,圆x2+y2=1上任意一点P,过点P作x轴

6、的垂线段PP′,P′为垂足.M为直线PP′上一点,且P′M=λPP′(λ为大于零的常数).当点P在圆上运动时,点M的轨迹是什么?为什么?图221[思路探究] 设出点M和点P的坐标,根据P′M=λPP′找到二者的联系,用点M的坐标表示点P的坐标,利用点P在圆上代入可得点M的轨迹方程,讨论λ可得点M的轨迹.【自主解答】 设M(x,y),P(x0,y0),∵PP′⊥x轴,且P′M=λPP′,∴x=x0,y=λy0,即x0=x,y0=y.∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,∴x+y=1.把x0=x,y0=y代入上式得x2+=1.当0<λ<1时,点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆

7、;当λ=1时,点M的轨迹是圆;当λ>1时,点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.[规律方法] 求解与椭圆有关的轨迹问题,一般利用相关点法(代入法),可先设动点的坐标为(x,y),然后通过题设条件给出的等量关系列出等式,再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2.已知点P(x0,y0)是椭圆+=1上一点,A点的坐标为(6,0),求线段PA中点M的轨迹方程.【解】 设M(x,y),则∴∵点P在椭圆+=1上,∴+=1.把代入+=1,得+=1,即+y2=1为所求.椭圆的定义及标准方程的应用[探究问题]1.椭圆的定义是什么?能否用一个数学式

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