2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导．(难点)2.掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点、易混点)3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自主预习·探新知]教材整理　椭圆的标准方程阅读教材P30～P31思考上面内容，完成下列问题．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图象焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的标准方程中，“标准”的条件是椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦点关

2、于原点对称．(　　)(2)椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　　)(3)方程＋＝1(m＞0，n＞0)是椭圆的方程．(　　)(4)椭圆＋＝1的焦点在x轴上．(　　)(5)设椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，则PF1＋PF2＝2.(　　)(6)椭圆＋＝1的焦点坐标是(±2,0)．(　　)[解析]　(1)(2)明显正确；(3)＋＝1中，当m＝n>0时方程表示圆，故错误；(4)方程y2的分母大于x2的分母，故椭圆的焦点在y轴上，故错误；(5)方程＋y2＝1中，a＝2，所以PF1＋PF2＝4

3、.所以错误；(6)因为a2－b2＝12－8＝4，所以c＝2，即焦点坐标为(±2，0)，故正确．[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√[合作探究·攻重难]椭圆标准方程的求法　求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的焦距为2，且过点P(－，0)；(2)两个焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且经过点P.【导学号：71392056】[精彩点拨]　求椭圆的标准方程关键是确定焦点的位置及a，b的值，若不能确定焦点位置，则要根据焦点在x轴上还是y轴上分类讨论．[自主解答]　(1)①若椭圆的焦点在x轴上，

4、设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵c＝1，点P(－，0)在椭圆上，∴解得故椭圆的标准方程为＋＝1.②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，则有解得故椭圆的标准方程为＋＝1.故所求椭圆的方程是＋＝1或＋＝1.(2)法一：∵椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝＋＝2，∴a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得解得∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.法三：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>2

5、)，∵点在椭圆上，∴＋＝1，整理得2a4－25a2＋50＝0，解得a2＝(舍)，a2＝10，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.[名师指津]　用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为[再练一题]1．求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B.[解]　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为椭圆经过点(5,0)，所以＝1，a2＝25，又c＝4，b2＝a2－c2＝25－16＝9，所

6、以椭圆方程为＋＝1.(2)法一：①若椭圆的焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，把A，B两点坐标代入得解得(舍去)．②若椭圆的焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)把A，B两点的坐标代入得解得故椭圆的标准方程为＋x2＝1.综上，所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.法二：设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)，把A、B两点坐标代入得解得故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.椭圆标准方程的识别　已知方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值

7、范围；(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围.【导学号：71392057】[精彩点拨]　(1)已知方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[自主解答]　将椭圆方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则>－>0，即所以π<α<π，即α的取值范围是.(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则－>>0，即所以<α<，即α的取值范围是.[

8、名师指津]　1．椭圆标准方程形式：左边是“平方＋平方”，分母不等，右边为“1”．2．焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大，焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大，因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置