2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2．2.1　椭圆的标准方程[学习目标]　1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一　椭圆的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二　椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2c2＝a2－b

2、2思考　(1)椭圆定义中，将“大于F1F2”改为“等于F1F2”或“小于F1F2”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案　(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一　用待定系数法求椭圆的标准方程例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解　(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所

3、以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为2a＝10，所以a＝5.又因为c＝4，所以b2＝a2－c2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.反思与感悟　求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意a>b>0这一条件．当已知椭

4、圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1　求焦点在坐标轴上，且经过A(，－2)和B(－2，1)两点的椭圆的标准方程．解　方法一　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，依题意有解得此时不符合a>b>0，所以方程组无解．故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设所求椭圆的方

5、程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0且A≠B)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.题型二　椭圆定义的应用例2　已知两定点F1(－1,0)，F2(1,0)，动点P满足PF1＋PF2＝2F1F2.(1)求点P的轨迹方程；(2)若∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．解　(1)依题意知F1F2＝2，PF1＋PF2＝2F1F2＝4>2＝F1F2，∴点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝，故所求点P的轨迹方程为＋＝1.(2)设m＝PF1，n＝PF2，则m＋n＝2a＝4.在△PF1F2中，由余弦定理，

6、得F1F＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，∴4＝(m＋n)2－2mn(1＋cos120°)，解得mn＝12.∴＝mnsin∠F1PF2＝×12sin120°＝3.反思与感悟　在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF1·PF2看作一个整体来处理．跟踪训练2　如图所示，已知过椭圆＋＝1的右焦点F2

7、的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点．求△AF1B的周长．解　由题意知，点A，B在椭圆＋＝1上，所以a＝5，故有AF1＋AF2＝2a＝10，BF1＋BF2＝2a＝10，AF2＋BF2＝AB，所以△AF1B的周长为AF1＋BF1＋AB＝AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝2a＋2a＝20.题型三　与椭圆有关的轨迹问题例3　已知B、C是两个定点，BC＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．解　以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy

8、，如图所示．由BC＝8可知点B(－4,0)，C(4,0)．由AB＋AC＋BC＝18得AB＋AC＝10>8＝B