2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修1 -1

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1、2.2.1　椭圆的标准方程学习目标　1.掌握椭圆的标准方程.2.会求椭圆的标准方程.3.能用标准方程判断曲线是不是椭圆.知识点一　椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.知识点二　椭圆的标准方程思考　在椭圆方程中，a，b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案　在椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间的距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距.a，b，c始

2、终满足关系式a2＝b2＋c2.梳理　椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21.到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.(　×　)2.椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关.(　×　)3.椭圆的两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2＝b2＋c2.(　√　)类型一　椭圆的标准方程例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2)，B；(2)经过点(3，)，且与椭

3、圆＋＝1有共同的焦点.考点　椭圆标准方程的求法题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).∵点A(0,2)，B在椭圆上，∴解得这与a>b相矛盾，故应舍去.当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).∵点A(0,2)，B在椭圆上，∴解得∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).∵点A(0,2)，B在椭圆上，∴∴故椭圆的标准方程为x2＋＝1.(2)方法一　椭圆＋＝1

4、的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义，可得2a＝＋，∴2a＝12，即a＝6.∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　由题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(λ>－9)，将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得＋＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)，∴椭圆的标准方程为＋＝1.反思与感悟　求椭圆标准方程的方法(1)定义法即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程.(2)待定系数法①先确定焦点位置；②设出方程；③寻求a，b，c的等量关系；④求a，b的值，代入所设方程.特别提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，需要分焦点在x

5、轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0).跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2).考点　椭圆标准方程的求法题点　定义法求椭圆的标准方程、待定系数法求椭圆的标准方程解　(1)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)∵椭圆

6、的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴∴∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).∵点P(－2，1)，Q(，－2)在椭圆上，∴代入得∴∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围为________.考点　椭圆的标准方程题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案　(0,1)解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，将方程改写为＋＝1，∴解得0

7、要化成标准形式.(2)＋＝1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是跟踪训练2　(1)已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________.考点　椭圆的标准方程题点　给条件确定椭圆方程中的参数(或其范围)答案　(7,10)解析　将方程化成椭圆的标准形式为＋＝1.根据其表示焦点在x轴上的椭圆，得解得7

8、∴4－m＝1，∴m＝3.