2018-2019高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2.2.1　椭圆的标准方程学习目标　1.理解椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的标准方程及其所对应的几何图形．知识点　椭圆的标准方程思考　在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理　(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上＋＝1(a>b>0)F1(－c,0)，F2(c,0)2c焦点在y轴上＋＝1(a>b>0)F1(0，－c)，F2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)焦点

2、坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为＋＝1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，－1)，F2(0,1)，焦距F1F2＝2.1．椭圆的标准方程只与a，b的大小有关．(×)2．椭圆的标准方程中，有三个基本量，即a，b，c且a2＝b2＋c2.(√)类型一　求椭圆的标准方程例1　求焦点在坐标轴上，且经过两点P，Q的椭圆的标准方程．解　方法一　①

3、当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得由a>b>0知不合题意，故舍去．②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二　设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．则解得所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.引申探究求与椭圆＋＝1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程．解　据题可设其方程为＋＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得λ＝11(λ＝－21舍去)，故所求的椭圆方程为＋＝1.反思与感悟

4、　1.若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．2．与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)，与椭圆＋＝1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a>b>0，λ>－b2)．跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)．解　(1)设其标

5、准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意得，2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，则解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(3)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意得解得∴所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.例2　已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．解　依题意得C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，设M(x，y)，动圆的半径为R，则MC1＝1＋R，MC2＝9－R

6、，故MC1＋MC2＝10>6＝C1C2，据椭圆定义知，点M的轨迹是一个以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16.故所求动圆圆心M的轨迹方程为＋＝1.反思与感悟　用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值．跟踪训练2　已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作焦点所在的坐标轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解　设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取PF1＝，PF2＝，由椭圆的定义，知2a＝PF1＋PF

7、2＝2.即a＝.由PF1>PF2知，PF2垂直于焦点所在的坐标轴．在Rt△PF2F1中，4c2＝PF－PF＝，∴c2＝，∴b2＝a2－c2＝.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.类型二　椭圆中焦点三角形问题例3　已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．解　由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，∴c＝＝1，∴F1F2＝2.又由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cos∠F1PF2，即4＝(

8、PF1＋PF2)2－2PF1·PF2－2PF1·PF