2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程讲义（含解析）苏教版选修2-1

《2018-2019学年高中数学 第1部分 第2章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程讲义（含解析）苏教版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2．2.1　椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0，－2)．问题1：若动点P满足PA＋PB＝6，设P的坐标为(x，y)，则x，y满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得＋＝6，化简得＋＝1.问题2：若动点P满足PC＋PD＝6，设P的坐标为(x，y)，则x、y满足什么关系？提示：由两点间距离公式得＋＝6，化简得＋＝1.椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)焦点坐标(±c,0)(0，±c)a、b、c的关系c2＝a2－b21．标准方程中的两个参数a和b，确定了椭圆的形状和

2、大小，是椭圆的定形条件．a，b，c三者之间a最大，b，c大小不确定，且满足a2＝b2＋c2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．待定系数法求椭圆标准方程[例1]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．[思路点拨]　(1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x轴上和在y轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般

3、方程Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)，直接求A，B.(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(，－)代入，即可求出a，b，则标准方程易得．[精解详析]　(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得即a2＝4，b2＝8，则a2b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，代入，得解得所以所求椭圆的标准

4、方程为＋＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[一点通]　求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点P，Q.解：(1)由已知得：c＝4，a＝5.b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为＋＝1.

5、(2)设椭圆方程为Ax2＋By2＝1.(A>0，B>0，A≠B)由已知得，解得：故所求椭圆方程为＋＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴∴故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.又∵P到它较近的一个焦点的距

6、离等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.椭圆标准方程的讨论[例2]　已知方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y轴上，求α的取值范围．[思路点拨]　(1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)可由m，n的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析]　将椭圆方程x2·sinα－y2·cosα＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋＝1(0≤α≤2

7、π)．(1)若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则>－>0，即所以π<α<π.即α的取值范围是.(2)若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则－>>0，即所以<α<.即α的取值范围是.[一点通]　对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x轴上，所以即解得a>3或－6