2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修2-1

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1、2.2.2椭圆的几何性质[基础达标]椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为________.解析:把椭圆的方程化为标准形式+=1,故a2=,b2=1,所以a=,b=1,2=4,解得,m=,符合题意.答案:已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆的方程是________.解析:由题意,知2a=12,=,故a=6,c=2,∴b2=a2-c2=32,故所求椭圆的方程为+=1.答案:+=1已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足0

2、2,2<2a≤4.即长轴的最大值是4.答案:4若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是________.解析:由题意知2b=a+c,又b2=a2-c2,∴4(a2-c2)=a2+c2+2ac.∴3a2-2ac-5c2=0,∴5c2+2ac-3a2=0.∴5e2+2e-3=0,∴e=或e=-1(舍去).答案:若椭圆+=1的离心率为,则m的值为________.解析:由已知得1-=或1-=,∴m=或18.答案:或18已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________.解析:结合图形(图略),转化为c

3、b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,如果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率是________.解析:在Rt△PF1F2中,由正弦定理,得===2c,∴=2c.由椭圆的定义,知PF1+PF2=2a.代入上式,有e===.答案:在平面直角坐标系xOy中,以椭圆+=1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点,与y轴相交于B、C两点,若△ABC是锐角三角形,则该椭圆的率心率的取值范围是________.解析:由题意得,圆半径r=,因为△ABC是锐角三角形,所以cos0>cos=>cos,即<<1,

4、所以<<1,即<<1,解得e∈.答案:已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成的三角形的周长为4+2,且∠F1BF2=,求椭圆的标准方程.解:设长轴长为2a,焦距为2c,则在△F2OB中,由∠F2BO=得:c=a,所以△F2BF1的周长为2a+2c=2a+a=4+2,∴a=2,c=,∴b2=1;故所求椭圆的标准方程为+y2=1.已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.解:(1)由已知可

5、设椭圆C2的方程为+=1(a>2),其离心率为,故=,则a=4,故椭圆C2的方程为+=1.(2)法一:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=,将y=kx代入+=1中,得(4+k2)x2=16,所以x=,又由=2,得x=4x,即=,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.法二:A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设

6、直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以x=,由=2,得x=,y=,将x,y代入+=1中,得=1,即4+k2=1+4k2,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.[能力提升]过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.解析:椭圆+=1的右焦点F2(1,0),故直线AB的方程y=2(x-1),由,消去y,整理得3x2-5x=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),x1

7、2),B,故S△OAB=S△OFA+S△OFB=××1=.答案:设F1、F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为________.解析:由题意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴PF2=2×=3a-2c.∵F1F2=2c,F1F2=PF2,∴3a-2c=2c,∴e==.答案:椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P为其上的动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围.解:设点P的坐标为(x,y),F1(

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