2018-2019学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质作业 苏教版选修2-1

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1、2.2.2椭圆的几何性质[基础达标]椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1，故a2＝，b2＝1，所以a＝，b＝1，2＝4，解得，m＝，符合题意．答案：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方程是________．解析：由题意，知2a＝12，＝，故a＝6，c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1.答案：＋＝1已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0

2、2，2<2a≤4.即长轴的最大值是4.答案：4若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)．答案：若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________．解析：由已知得1－＝或1－＝，∴m＝或18.答案：或18已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：结合图形(图略)，转化为c

3、b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°，∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________．解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理，得＝＝＝2c，∴＝2c.由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a.代入上式，有e＝＝＝.答案：在平面直角坐标系xOy中，以椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围是________．解析：由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos0>cos＝>cos，即<<1，

4、所以<<1，即<<1，解得e∈.答案：已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋2，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程．解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1的周长为2a＋2c＝2a＋a＝4＋2，∴a＝2，c＝，∴b2＝1；故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．解：(1)由已知可

5、设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设

6、直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，由＝2，得x＝，y＝，将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.[能力提升]过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由，消去y，整理得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1

7、2)，B，故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝××1＝.答案：设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________．解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2x＝60°.∴PF2＝2×＝3a－2c.∵F1F2＝2c，F1F2＝PF2，∴3a－2c＝2c，∴e＝＝.答案：椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围．解：设点P的坐标为(x，y)，F1(