2018-2019高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质二学案苏教版选修2.doc

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1、2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系,特别是直线与椭圆相交的问题.知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0).(1)当P在椭圆外时,+>1;(2)当P在椭圆上时,+=1;(3)当P在椭圆内时,+<1.知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系?答案 有三种位置关系,分别是相交、相切、相离.思考2 如何判断y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系?答案 联立消去y得关于x的一元二次方程,则位置

2、关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ=0相离无解Δ<0梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法:将直线的方程和椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程.若Δ>0,则直线和椭圆相交;若Δ=0,则直线和椭圆相切;若Δ<0,则直线和椭圆相离.(2)根与系数的关系及弦长公式:设直线l:y=kx+m(k≠0,m为常数)与椭圆+=1(a>b>0)相交,两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦,线段AB的长度叫做弦长.AB=·,其中x1+x2与x1x2均可由根与系数的

3、关系得到.1.直线与椭圆有且只有一个公共点时,直线与椭圆相切.(√)2.直线-y=1被椭圆+y2=1截得的弦长为.(√)3.已知椭圆+=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.(×)4.直线y=k(x-a)与椭圆+=1的位置关系是相交.(√)类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断例1 已知点P(k,1),椭圆+=1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为____________.答案 ∪解析 依题意得,+>1,解得k<-或k>.引申探究若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?答案 ∪解析 依题

4、意得,+>1,解得k2>,即k<-或k>.反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆+=1(n>m>0)上,则m+n的最小值为________.答案 9解析 依题意得,+=1,而m+n=(m+n)=1+++4=5++≥5+2=9,(当且仅当n=2m时等号成立)故m+n的最小值为9.例2 对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的位置关系.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由消去

5、y,得5x2+8mx+4m2-4=0,Δ=64m2-4×5×(4m2-4)=16×(5-m2).当-<m<时,Δ>0,直线与椭圆相交;当m=-或m=时,Δ=0,直线与椭圆相切;当m<-或m>时,Δ<0,直线与椭圆相离.反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时,准确计算出判别式Δ是解题关键.跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q,求k的取值范围.考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭

6、圆方程得+(kx+)2=1,整理得x2+2kx+1=0,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4=4k2-2>0,解得k<-或k>,所以k的取值范围为∪.类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性,知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y-1=k(x-2).将其代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2

7、),则x1,x2是上述方程的两根,于是x1+x2=.又M为线段AB的中点,∴==2,解得k=-.经检验,当k=-时,(*)式的判别式Δ>0.故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法二 点差法设A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,则x+4y=16,x+4y=16,两式相减,得(x-x)+4(y-y)=0,于是(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·(y1-y2)=0.∴=-=-=-,即直线AB的斜率kAB=-

8、.故所求直线的方程为x+2y-4=0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于点M(2,1)为线段AB的中点,则另一个交点为B(4-x,2-y).∵A,B两点都在椭圆上,∴①-②,得x+2y-4=0.即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.引申探究在

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