2018年浙江省中考《第35讲：方程、函数思想型问题》总复习讲解

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1、第35讲方程、函数思想型问题(建议该讲放第16讲后教学)z内容特性1•在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想.2.函数思想是指用变量和函数来思考问题的一-种方法，借助函数知识来探求变蚩之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、儿何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.解题策略(1)解决函数综合问题吋，注意数形结合，在函数、方程、不等式之间灵活转化；

2、(2)解决儿何综合问题时，常从而积关系，勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；(3)解决生活屮应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；(4)对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程屮那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思基本思想想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.类型一运用方程思想求解几何综合性问题例1如图，在厶ABC屮，BA=BC=20cm,AC=30c

3、加，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向点A运动•设运动的时间为x秒.FBDEA.y[5C.1类型二运用函数思想求解方程、不等式问题(1)当x为何值时，PQ〃BC?⑵AAPQ能否与△CQB相似？若能.求出AP的长；若不能•请说明理由.【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏.过点A,C作相距为2的平行1.（2016-舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3,线段AE,CF,分别交CD,AB于点

4、E,F,则DE的长是((2017-杭州)在平面直角坐标系中,设二次函数yi=(x+a)(x—a—1),其中aHO.(1)若函数yi的图象经过点(1,-2),求函数力的表达式;⑵若一次函数y2=ax+b的图象与旳的图彖经过x轴上同一点，探究实数a,b满足的关系式；(3)已矢口点P(x(),m)和Q(l,n)在函数yi的图象上，若求x()的取值范围.【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解(1)的关键是利用待定系数法；解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏.■変炙托展⑴图(2)图3

5、(1)如图，已知函数y=—;r与y=ax?+bx(a>0,b>0)的图彖交于点P,点P的纵坐标为1,则关于X的方程ax(1)已知函数y=x和的图象如图，则不等式佰3>x的解集为()A.—2Wx<2B.—2WxW2C.x<2D.x>2+bx+7=0的解为.ZV类型三运用方程、函数思想求解几何最值问题例3(2016-黄冈模拟)如图，在ZABC中，ZACB=90°,AC=BC=6,现将一块边2足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的屮点O,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度a(0。

6、与AC、BC相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与AABC的重叠部分(如图所示)，那么，在上述旋转过程中：(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的血积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连结HK,设BH=x.①当ACKH的面积为号时，求出x的值；②试问AOHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此吋x的值，若不存在，请说明理由.【解后感悟】本题利用方程、函数思想把问题构建为方程、函数模型，再用方程、函数知识来解决问题.解题的关键是根据题意列出方程、函数关系式.■変式托展3.(2015-德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示，A

7、BCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，E、F是在AB±被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm若广告商要求包装盒侧血积S(cm2)最大，试问x应取的值为cm.【解后感悟】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，借助这些知识，再利用方程、函数思想来解决问题.以此设计问题在中考中出现的频率很髙，是中考中比较典型的题型.展3.如图，已

8、知抛物线y=$?+bx与直线y=2x交于点0(0,0),A(a,12).点B是抛