2018年中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第35讲方程、函数思想型问题讲解篇

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1、第35讲　方程、函数思想型问题(建议该讲放第16讲后教学)内容特性1.在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想．2．函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.解题策略(1)解决函数综合问题时，注意数形结合，在函数

2、、方程、不等式之间灵活转化；(2)解决几何综合问题时，常从面积关系，勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；(3)解决生活中应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；(4)对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.基本思想利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.类型一　运用方程思想求解几何综合性

3、问题　如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以每秒4cm的速度向点B运动；同时Q点从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向点A运动．设运动的时间为x秒．(1)当x为何值时，PQ∥BC?(2)△APQ能否与△CQB相似？若能．求出AP的长；若不能．请说明理由．【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏．1．(2016·舟山)如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，过点A，C作相距为2的平行线

4、段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是(　　)A.B.C．1D.类型二　运用函数思想求解方程、不等式问题　(2017·杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝(x＋a)(x－a－1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，－2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2＝ax＋b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解(1)的关键是利用待定系数法；

5、解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏．2．(1)已知函数y＝x和y＝的图象如图，则不等式>x的解集为(　　)A．－2≤x<2B．－2≤x≤2C．x<2D．x>2(1)图(2)图(2)如图，已知函数y＝－与y＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2＋bx＋＝0的解为　　　　　　　　.类型三　运用方程、函数思想求解几何最值问题　(2016·黄冈模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，

6、现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°)，旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分(如图所示)，那么，在上述旋转过程中：(1)线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连结HK，设BH＝x.①当△CKH的面积为时，求出x的值；②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说

7、明理由．　　　　　　【解后感悟】本题利用方程、函数思想把问题构建为方程、函数模型，再用方程、函数知识来解决问题．解题的关键是根据题意列出方程、函数关系式．3．(2015·德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，E、F是在AB上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取的值为　　　　　　　　c

8、m.类型四　运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题　(2015·汕尾)如图，已知直线y＝－x＋3分别与x、y轴交于点A和B.(1)求点A、B的坐标；(2)求原点O到直线l的距离；(3)若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．【解后感悟】此题属于一次函数综合题，涉及的知