例谈区间二次函数值域求法

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1、例谈区间二次函数值域求法摘要：在对二次函数值域的实际考查或应用中，更多的是以区间二次函数的面目出现，而所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数的定义域R,而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”，前者通法有“单调性法”“对称距法”“比较大小法”，而后者只能用“单调性法"。但不管是哪一个类型问题，还是哪一种解决方法，都必须从求对称轴以及判断对称轴与定义区间的关系入手，从而对问题的求解做出更精准的处理.关键词：二次函数；区间二次函数；值域；值域

2、求法所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数定义域R,而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”•一、双界型区间二次函数及值域求法1•概念定义域区间既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，aHO）的函数，称为双界型区间二次函数.2.值域的求法例1.求函数y=x2-4x+l,xW[0,5]的值域.解法1.丁对称轴为x=-・=2W［0,5］,且有当x=2时，y=-3；当x=0时，y=l；当x=5时，y=6；ymin=-3

3、,ymax=6..•.原函数的值域为［-3,6］.点评：当对称轴在定义区间上时，函数有三个关键点，即顶点和两个区间端点，这三个关键点的函数值中最大者一定是函数的最大值，最小者一定是函数的最小值，因此，可以利用已知函数的解析式直接求出三个关键点的函数值，然后比较大小，求出两个极值（最大值和最小值），进而确定值域，此种方法可称为比较大小法，是求双界型区间二次函数值域的有效通法。解法2.•.•对称轴为x=-B=2e［0,5］,.•.原函数在［0,5］上的值域和在［2,5］上的值域是相同的.又Va=l>0,・・・y

4、在［2,5］上为单调递增函数.当x=2时，ymin二-3；当x=5时，ymax=6.原函数的值域为［-3,6'.点评：一般来说，若二次函数的对称轴xOe［a,b］,此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间［xO,c］（其中c为a、b中的较大者）上的值域，于是可利用函数的单调性来求解问题，这种办法不妨称之为“单调性法”，也是求双界型区间二次函数值域的一种有效方法.解法3：•.•对称轴为x=-B=2,/.5-2>2-0>2-2.当x-2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6..•.原函数的

5、值域为[-3,6].点评：一般的，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(aHO)而言，有当a>0时，离对称轴越远函数值越大；当al-2,当t=-l时，ymin=-3；当t=l时，ymax=5..•.原函数的值域为[-3,5].点评：这里用了“对称距法”，但无需顶点参与.小结：(1)双界型区间二次函数的值域问题可分为两种类型:一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.(2)双界型区间二次函数值域的求解有三种通法，分别是''单调性法”“对称距法”“比较大小法”•但不管哪一种方法都是从求对称轴和判

6、断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定顶点是否参与比较.(3)双界型区间二次函数的值域也一定是双界型区间.二、单界型区间二次函数及值域求法1•概念定义域区间只有上界或下界的形如尸ax2+bx+c(其中a、b、c为常数，a^O)的函数，称为单界型区间二次函数.2.值域的求法例3•求函数y=x2-2x-3,x£(-8,-1］的值域.解：T对称轴x=-.=l・(-°°,-1］,且a=l>0,•：y在(-°°,T］上为单调递减函数..•.y2(-1)2-2•(-1)-3=0.函数值域为［0,+°°).点评：一般来说

7、，若二次函数对称轴xOBEa,+o°)(或,a］)时，此时函数在定义区间是单调函数，于是可直接用“单调性法”来求解问题.例4•求函数y=3+2x-x2,x&(-°°,3］的值域.解：T对称轴二-■=!_丘(T,3］,.•.原函数在(-°°,3］上的值域和在(-°°,1］上的值域是相同的.Va=-1