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《高三数学解题方法谈：例谈函数值域的求法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈函数值域的求法1.配方法主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.例1.设0WxW2,求函数/(%)=4v-32x+,+1的值域.解：/(x)=-32X+1+1=(2X-3)2-8,・・・0WxW2,・・・1W2'W4.・••当2V=3时，函数取得最小值-8；当2"=1时，函数取得最大值-4,・•・函数的值域为［-&一4］・评注：配方法往往需结合函数图彖求值域.2.单调性法单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.例2.函数f
2、(x)=x2+丄，(xW—1)的值域是-X解析：函数y=X2和)，=丄在(一8,_1］上都是减函数，所以Znjn=/(-1)=0,所以函数X/(劝的值域为［0,4-00).3.数形结合法对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图彖来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确泄函数值域,用数形结合法，使运算过程大大简化.-%例3.求函数心宀"3(一250),的x2-2x-3(0W/W3)值域.分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则英函数
3、值的整体变化情况就一li了然了，从而可以快速地求出其值域.解：作图彖如图所示.・・・/(-1)*(1)=-4,/(_2)=_3,/(3)=0,/(0)=-3,・••函数的最大值、最小值分别为0和-4,即函数的值域为［-4,0］.4.判别式法对于形如y二+/?9x+gter$不同时为0)的函数常采用此法，就是把函数转化成关于兀的一元二次方程(二次项系数不为0时)，通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域.14-Y+X*例4.求函数)=：的值域.「1+JT解：原函数化为关于尢的一
4、元二次方程(y-l)x2-x+y-l=().I3(1)当yzl时，%eR,△=(―1)~—4(歹—1)()，—1)三0,解得一WyW—；'13"(2)当y=l时，x=0而lw—，—•22「131故函数的值域为一,？.L22」评注：①在解此类题的过程屮要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在xgR或仅有个别值(个别值是指使分母为0的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的y值，若在1+若+T求出的值域中则应除去此y值)不能取的情况下，否则不能使用，如求函数y二・21+XXG(2,3)的值域，则不
5、能使用此方法.5.换元法有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴需己知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向,这就是换元法•在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.例5.求/(x)=x+J1-X的值域.解：令Ji二：=/>(),则兀=1—八(》2()),(1/(x)=/(l-r)=l-r2+r=t--所以函数值域为I-00,-4评注：利用引入的新变量r,使原函数消去了根号，
6、转化成了关于f的一元二次函数，使问题得以解决.用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域.6.反解法就是用y来表示兀，利用其变形形式求得原函数的值域.r—3例6.求函数的值域.•X+1解：函数y=^—^~可化为％=丄艺，可得歹工1,x+ll-y所以原函数的值域为{yeRy^}.7.分离常数法对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时
7、的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域.例7・求函数y二的值域.2A+1…2”（2、+1）—11I解：y===I•72'+12X+12”+12A>0,・・・2"+1>1,・ <—^―<1,・-1<——<0,2"+12"+10<1——<1・2X+1・•・函数的值域为(0,1).
