例谈区间二次函数的值域求法

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1、例谈区间二次函数的值域求法　　摘要：在对二次函数值域的实际考查或应用中，更多的是以区间二次函数的面目出现，而所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数的定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”，前者通法有“单调性法”“对称距法”“比较大小法”，而后者只能用“单调性法”。但不管是哪一个类型问题，还是哪一种解决方法，都必须从求对称轴以及判断对称轴与定义区间的关系入手，从而对问题的求解做出更精准的处理.　　关键词：二次函数；区间二次函数；值域；值域求法　　所谓的区间二次函数就是其函数表达

2、式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”.　　一、双界型区间二次函数及值域求法　　1.概念　　定义域区间既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为双界型区间二次函数.　　2.值域的求法　　例1.求函数y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.　　解法1.∵对称轴为x=-■=2∈[0，5]，且有当x=2时，y=-3；当x=0时，y=1；当x=5时，y=6；5　　∴ymin=-3，ymax=6.　　∴原函数的值域为[-3，6].　　

3、点评：当对称轴在定义区间上时，函数有三个关键点，即顶点和两个区间端点，这三个关键点的函数值中最大者一定是函数的最大值，最小者一定是函数的最小值，因此，可以利用已知函数的解析式直接求出三个关键点的函数值，然后比较大小，求出两个极值（最大值和最小值），进而确定值域，此种方法可称为比较大小法，是求双界型区间二次函数值域的有效通法。　　解法2.∵对称轴为x=-■=2∈[0，5]，　　∴原函数在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.　　又∵a=1>0，　　∴y在[2，5]上为单调递增函数.　　∴当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.　　∴

4、原函数的值域为[-3，6].　　点评：一般来说，若二次函数的对称轴x0∈[a，b]，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，c]（其中c为a、b中的较大者）上的值域，于是可利用函数的单调性来求解问题，这种办法不妨称之为“单调性法”，也是求双界型区间二次函数值域的一种有效方法.　　解法3：∵对称轴为x=-■=2，　　∴5-2>2-0>2-2.　　∴当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.5　　∴原函数的值域为[-3，6].　　点评：一般的，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有当a>0时，离对称轴越远函

5、数值越大；当a<0时，离对称轴越远函数值越小，利用此规律也可以求双界型区间二次函数的值域，不妨称之为“对称距法”.　　例2.求函数y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].　　解法1.∵对称轴t=-■=2■[-1，1]，且a=-1<0，　　∴y在[-1，1]上单调递增.　　∴当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.　　∴原函数的值域为[-3，5].　　点评：这里用了“单调性法”，但是直接使用而不需要先等价转化.　　解法2.∵对称轴t=-■=2■[-1，1]，且当t=-1时，y=-3；当t=1时，y=5.　　∴ymin=-3，ymax

6、=5.　　∴原函数的值域为[-3，5].　　点评：这里用了“比较大小法”，但无需顶点参与.　　解法3.∵对称轴t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，　　∴当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.　　∴原函数的值域为[-3，5].　　点评：这里用了“对称距法”，但无需顶点参与.　　小结：5　　（1）双界型区间二次函数的值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.　　（2）双界型区间二次函数值域的求解有三种通法，分别是“单调性法”“对称距法”“比较大小法”.但不管哪一种方法都是从求对称轴和判断对称轴

7、与定义区间的关系入手，以便确定顶点是否参与比较.　　（3）双界型区间二次函数的值域也一定是双界型区间.　　二、单界型区间二次函数及值域求法　　1.概念　　定义域区间只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为单界型区间二次函数.　　2.值域的求法　　例3.求函数y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.　　解：∵对称轴x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，　　∴y在（-∞，-1]上为单调递减函数.　　∴y≥（-1）2-2?（-1）-3=0.　　∴函数值域为[0，+∞）.　　点评：一般来说，若二次函数对称轴x

8、0■[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间是单调函数