高一数学例谈函数解析式的求法

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1、例谈函数解析式的求法重庆黔江新华中学侯建新一、解析式的表达形式解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。1、一般式是大部分函数的表达形式,例一次函数:二次函数:反比例函数:正比例函数:2、分段式若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用n个式子来表示函数,这种形式的函数叫做分段函数。(注意分段函数的定义域和值域)例(2001上海)设函数,则满足的x的值为。解:当时,由得,,与矛盾;当时,由得,。∴3、复合式若y是u的函数,u又是x的函数,即,那么y关于x的函数叫做f和g的复合函数。例已知,则,。解:二、解析式的求法用心爱心专心根据已知条件求函数的解析式,

2、常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。函数的解析式是表示对应关系的式子,是函数三种表示法中最重要的一种,对某些函数问题,能否顺利解答,往往取决于是不是能够求出函数的解析式.本文就常见的函数解析式的求法归类例析如下:  1.图象法Oxy11-1  例1 已知函数=的图象如图所示.     求函数的解析式.  解:由图知函数是分段函数,分别对每段求解析式易得   =评注:已知函数图象,求函数解析式,对于这类问题,我们只要能够准确地应用题中图象给出的已知条件确定解析式即可.  2.配凑法(满足范围才能取代)  例2 已知.求得解析式.解:∵   

3、        =    ∴ =-2-2 (≠1)评注:已知=,求的问题,可先用表示,然后再将用代替,即得的解析式.例已知,求。解:,()。例已知,求。解:,()。用心爱心专心例已知:,求。解:∴注意:1、使用配凑法也要注意自变量的范围限制;2、换元法和配凑法在解题时可以通用,若一题能用换元法求解析式,则也能用配凑法求解析式。3.换元法(满足范围才能取代)  例3 已知=,求函数的解析式.  解:令,则=(引入新元要标注范围)∴  从而评注:已知=,求的问题,若用配凑法难求时,则可设=,从中解出,代入进行换元来解.在换元的同时,一定要注意“新元”的取值范围.

4、  4.待定系数法当函数类型给定,且函数某些性质已知,我们常常可以使用待定系数法来求其解析式。  例4 求一次函数,使得=解:设一次函数为, 则,=由已知可得=,比较系数得:,解得   ∴ =+2例已知二次函数满足,,求。用心爱心专心解:设函数为,将代入得,解得,。例已知二次函数满足且图象经过点(0,1),被轴截得的线段长为,求函数的解析式。分析:二次函数的解析式有三种形式:①一般式:②顶点式:③双根式:解法1:设,则图象经过点(0,1)知:,即c=1    ①∴由知:整理得:即:②由被轴截得的线段长为知,,即即整理得:③由②③得:∴用心爱心专心解法2:由知

5、:二次函数对称轴为,所以设;以下从略。解法3:由知:二次函数对称轴为;由被轴截得的线段长为知,;易知函数与轴的两交点为,所以设,以下从略。例已知:为二次函数,且,求。5.解方程组法  例5 已知2+=,求的解析式.  解:已知2+=  ①   将①中变量换成,得   2+=     ②   联立①、②可得方程,消去得   =.例已知:,求。解:已知:①用去代换①中的得②由①×2-②得:  评注:已知满足某个等式,这个等式除是已知量外,还出现其他未知量,如用心爱心专心(-),等.可以根据已知等式再构造其它等式组成方程组,通过解方程组求出.6.特殊值法对于抽象函

6、数,我们常常使用赋值法来探求其函数解析式。  例6 已知对一切,关系式都成立,且=1,求.  解:∵ 对一切、y都成立.   ∴ 令=0得   ∴ , 再令=-y 得=++1例已知定义在实数集上函数对于一切、均有,且,求。解:在中,令、得,即,。例已知函数满足,求函数。解:以代原关系式中的得,与原关系式联立组成方程组解得:。对于函数,当满足形如()或()等关系时,我们可以用或代替关系式中的,将得到的新式子与原关系式联立消元,将从方程中解出来。用心爱心专心例已知函数对于一切实数都有成立,且。(1)求的值;(2)求的解析式。解:(1)取,则有(2)取,则有整理得

7、:7.递推法对于定于在上的函数,我们可以把、、等与数列中的项、、等关联起来。我们直接从给定的条件关系式或通过巧妙的赋值,将其转化为数列的递推关系式,进而将求函数的解析式转化为求数列的通项。这样,我们便可以将求递推数列通项公式的思想方法迁移过来进行求解。例7已知是定义在正整数集上的函数,并且对于任意的、,都有,且,求。解:令得那么有:……用心爱心专心各式叠加得:…即()8.变换法对于给定轴对称函数、中心对称函数、周期函数等在某区间的解析式要求另一区间上函数解析式一类问题,我们可从目标(待求)区间入手,构造变量属于已知区间,通过给定的函数的性质把待求的解析式和构

8、造变量的函数值之间的关系关联,从而把函数在待求区间上

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