例析函数解析式的求法

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1、例析函数解析式的求法函数是中学数学中最基本的也是最重要的概念之一。本文总结了函数解析式的十种不同的解法，希望能够帮助师生进一步理解函数的概念的，把握函数的内涵，提高学习效率。　　一、代换法　　例1：已知函数f(x)满足f(x+3)=x2+2x+3,求f(x)的解析式.　　解：设t=x+3,则x=t-3,∴f（t）=(t-3)2+2(t-3)+3=t2-4t+6.　　∴f(x)=x2-4x+6。　　例2：已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x)的解析式.　　解：设t=1-cosx,则cosx=1-t,∴f（t）=sin2x=1-cos2x=1-(

2、1-t)2　　=-t2+2t,∵-1≤cosx≤1∴0≤t≤2　　∴f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)。　　评注：代换法亦称换元法，是中学数学常用的数学方法之一。此两例相当于已知f［g(x)］＝h(x)，求f(x)的问题，应令g(x)＝t，解出x，代入h(x)进行换元，从而求出f(x)的解析式，用换元法解决数学问题应注意代换的等价性，如例2中t的范围。　　二、凑配法　　例1：已知函数f(x)满足f(x+3)=x2+2x+3,求f(x)的解析式.　　解：由f(x+3)=x2+2x+3=(x+3)2-4(x+3)+6　　得f(x)=x2-4x+6。　　

3、例2：已知函数f(x)满足f(x-1[]x)=x2+1[]x2+1.求f(2-1)。　　解：首先求f(x)的解析式。　　由f(x-1[]x)=x2+1[]x2+1=(x-1[]x)2+3得f（x）=x2+3　　所以f(2-1)=(2-1)2+3=6-22.　　评注：观察已知条件中式子两端的特征，将式子右端构造成左端函数自变量位置上的量的形式，然后整体代换求函数解析式。在整体代换过程仍然应注意代换的等价性。　　三、待定系数法　　例1：求一次函数f(x)，使得f{f［f(x)］}＝x+6　　解：设一次函数为f(x)=ax+b(a≠0)，　　则f［f(x)

4、］=a(ax+b)+b=a2x+ab+b，　　f{f［f(x)］}＝a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b　　由已知可得a3x+a2b+ab+b＝x+6，比较系数得：a3=1a2b+ab+b=6，解得a=1b=2　　∴f(x)＝x+２　　例2：已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点（1，1）,反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点的距离为8，f(x)=f1(x)+f2(x)　　求f(x)的表达式。　　解：由已知，设f1(x)=ax2，由f1(1)=1，得a=1∴f1(x)=ax2.　　设

5、f2(x)=k[]x（k＞0）,它的图像与直线y=x的两个交点分别为A(k,k),B(-k,-k),由

6、AB

7、=8，得k=8,∴f2(x)=8[]x.∴f(x)=x2+8[]x.　　评注：待定系数法是中学数学常用的数学方法之一。若题中给出所求函数的具体类型求函数解析式，可用待定系数法。方法是先设出函数的解析式，然后根据题设条件列出满足条件的方程（组）,进而求解。　　四、解方程组法　　例1：已知２f(x)＋f(1[]x)＝x，求f(x)的解析式．　　解：已知２f(x)＋f(1[]x)＝x①将①中变量x换成1[]x，得　　２f(1[]x)＋f(x)＝1[]x②联

8、立①、②可得方程，消去f(1[]x)得：f(x)＝2[]3x-1[]3x。　　例2：定义在区间（-1，1）的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1），求f(x)的解析式。　　解：对任意的x∈(-1,1)有-x∈(-1,1)　　由2f(x)-f(-x)=lg(x+1）①得2f(-x)-f(x)=lg(-x+1）②。　　将①②视为f(x)，f(-x）的方程组。解方程组得f(x)=2[]3lg(x+1)+2[]3lg(1-x)（-1＜x＜1）。　　评注：求函数解析式时，当已知条件中的量代换时出现循环情况，常用这种方法解决。　　五、利用函数性质　　例1：已知

9、函数f(x)=ax2+bx+1[]x+c（x≠0，a＞0）是奇函数，当x＞0时，f(x)有最小值22。求f(x)的解析式。　　解：∵f(x)=ax2+bx+1[]x+c（x≠0，a＞0）是奇函数　　∴f（-x）=f（x）,∴-ax2+bx+1[]x+c=ax2-bx+1[]-x+c对一切x≠0恒成立。　　∴b=c=0∴f(x)=ax2+1[]x,当x＞0，f(x)=ax2+1[]x≥2a=22，　　∴a=2∴f(x)=2x2+1[]x　　例2：已知函数f(x)的图象过点（0，1）且与函数g(x)=2x[]2-1-a-1的图象关于直线y=x-1成

10、轴对称图形