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1、函数的周期性与对称性◆函数的轴对称定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.◆函数的周期性定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数；推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（a－b）为周期的周期函数；推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：..①；②；③；④；⑤；⑥．....◆函数的点对称定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论1：函数满足，则函数的图象关于点对称.推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称...◆函数轴对称、点对称与周期性定理4
2、：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b（b>a）都轴对称，则函数f(x)有无数条对称轴，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于点（a,0）和(b,0)（b>a）都成中心对称，则函数f(x)有无数个对称中心，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合定理6：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x=a成轴对称，又关于点（b,c）（a≠b）成中心对
3、称，则f(x)为周期函数，并且4(b-a)是它的一个周期）推论1：若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期；推论2：若奇函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；推论3：若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；推论4：若偶函数f(x)的图象关于点(a,0)(a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。定理7：函数为偶函数函数关于直线x=a对称；函数为奇函数函数关于点对称。..练习1：对称性1、设函数
4、的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。2、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于______对称,图象关于__________对称。4、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。5、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为___________。6、设函数的定义域为R，则下列命题中:①若是偶函数，则图象关于y轴对称；②是偶函数，则图象关于直线对称；③，则函数图象关于直线对称；④与图象关于直线对称.其中正确命题序号为____
5、___。练习2：周期性1、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则()A.B.C.D...3、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）A.B.C.D.4、函数对于任意实数满足条件，若则________。5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为________。6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)=f(3
6、)=0.试求方程f(x)=0在闭区间[-2008,2008]上的根的个数.7、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。练习3：奇偶性、对称性与周期性综合1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则()A.是偶函数B.是奇函数C.D.是奇函数2、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2..)+1,,则下列说法一定正确的是（）A.f(x)为奇函数B.f(x)为偶函数C.f(x)+1为奇函数D.f(x)+1为偶函数3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,则________。4、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是
7、增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=____________5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称。求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值____________6、已知f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)=f(x-1)为奇函数，求f(2009)的值____________。7、已知偶函数定义域为R，且恒满足，若方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。8、设f(x)是定义在
