函数周期性和对称性

《函数周期性和对称性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、周期性对称性2周期性周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x+T)=f(x)恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．思考：若T为函数f(x)的一个周期，则-T、2T、3T、kT(k为非零整数)是否也是这个函数的一个周期？请说明理由．3周期性若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关系式，试分别探究函数f(x)的周期性并写出函数f(x)的一个周期：①f(x+6)=f(x)②f(x+3)=f(x-3)③f(x+7)=f(x+1)若函数f(x)对于定义域内任意x都满足f(x+a)=f(x+b)(a≠b)，则函数f(x)

2、有何性质？自变量差为定值，函数值相等周期为4若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关系式，试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数f(x)的对称轴：①f(2+x)=f(2-x)②f(x)=f(4-x)③f(x-1)=f(5-x)对上述结果进行分析归纳：当函数f(x)满足f(x)=f(a-x)时，对称轴为______.当函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)时，对称轴为______.自变量和为定值，函数值相等轴对称对称轴为5若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关系式，试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数f(x)的对称中心：①f

3、(2+x)=-f(2-x)②f(x)=-f(4-x)③f(x-1)=-f(5-x)对上述结果进行分析归纳：当函数f(x)满足f(x)=-f(a-x)时，对称中心为___.当函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)时，对称中心为___.当函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)+c时，对称中心为___.自变量和为定值，函数值和为定值中心对称对称中心为6性质小结一个函数f(x)对于定义域内任意x都满足下列各式：f(x+a)=f(x+b)自变量差为定值，函数值相等(差为零)周期性T=

4、a-b

5、f(a+x)=f(b-x)轴对称自变量和为定值，函数值相等(差为

6、零)f(a+x)=-f(b-x)+c中心对称自变量和为定值，函数值和为定值7知识巩固例1：⑴若函数f(x)=

7、x+a

8、，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=f(2-x)，则实数a=______．⑵若函数f(x)=(x+a)3，且f(x)满足对x∈R都有f(3+x)=-f(2-x)，则实数a=______．例2：请写出函数f(x)=sinx的对称轴和对称中心，并利用本节课所讲结论证明．8知识巩固例3：⑴函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=-f(x)，若f(2)=3，则f(2012)=______．⑵奇函数f(x)对x∈R都有f(x+4)=，且当x∈(

9、0,2)时，f(x)=x，则f(2011)=_____．例4：若函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=f(2-x)，且f(x+2)=f(x)，当x∈[2,3]时，f(x)=x2+x．⑴分别求下列区间上函数f(x)的解析式：①[1,2]②[4,5]③[2011,2012]⑵求区间[2k,2k+2](k∈Z)上函数f(x)的解析式.9课堂拓展例5：若定义域为R的函数f(x)满足对任意x∈R都有f(2+x)=f(2-x)，f(1+x)=f(5-x)，试判断函数f(x)是否是周期函数？思考：你可以推广得到关于周期的一般性结论吗？两对称轴：x=a、x=b=>周期T

10、=2

11、a-b

12、两对称中心：(a,0)、(b,0)=>周期T=2

13、a-b

14、一轴一中心：x=a、(b,0)=>周期T=4

15、a-b

16、10知识巩固例6：设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对任意x∈R都有f(2+x)=-f(x)，又当x∈[-1,1]时f(x)=x3，⑴证明：直线x=1是f(x)图像的一条对称轴；⑵当x∈[1,5]时，求函数f(x)的解析式．例7：⑴若函数f(x)对任意x∈R都有f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的对称轴为__________.⑵两个函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关于直线_________对称．