函数的对称性和周期性

《函数的对称性和周期性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、镇江一中高三理科一轮复习教学案函数的对称性和周期性一.复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。3.掌握常见的函数对称问题二、建构知识网络一、两个函数的图象对称性1、与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。2、与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。3、与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。4、与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。5、关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。6、与关于直线对称。二、

2、单个函数的对称性性质1：函数满足时，函数的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于直线的对称点，当时故点也在函数图象上。由于点是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线对称。（注：特别地，a=b=0时，该函数为偶函数。）性质2：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。证明：在函数上任取一点，则，点关于点（，）的对称点（，c－y1），当时，即点（，c－y1）在函数的图象上。由于点为函数图象上的任意一点可知函数的图象关于点（，）对称。（注：当a=b=c=0时，函数为奇函数。）性质3：函数的图象与的图象关于直线对称。证明：在函数上任取一点，则，点关

3、于直线对称点（，y1）。由于5镇江一中高三理科一轮复习教学案故点（，y1）在函数上。由点是函数图象上任一点因此与关于直线对称。三、周期性1、一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。说明：周期函数定义域必是无界的。推广：若，则是周期函数，是它的一个周期2.若是周期，则也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数；3、对于非零常数，若函数满足，则函数必有一个周期为。证明：∴函数的一个周期为

4、。4、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。证明：。5、对于非零常数，函数满足，则函数的一个周期为。证明：。6、对于非零常数，函数满足或则函数的一个周期为。证明：先看第一个关系式第二个式子与第一的证明方法相同7、已知函数的定义域为，且对任意正整数都有则函数的一个周期为证明：（1）（2）两式相加得：5镇江一中高三理科一轮复习教学案四、对称性和周期性之间的联系性质1：函数满足，，求证：函数是周期函数。证明：∵得得∴∴∴函数是周期函数，且是一个周期。性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称

5、中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：由得得∴函数是以为周期的函数。性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。证明：推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期证明：由已知举例:等.性质4：若函数对定义域内的任意满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：性质5：已知函数对任意实数,都有，则是以为周期的函数证明：五、典型例题例1（2005·福建理）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．

6、2B．3C．4D．5解：是上的奇函数，则，由得，∴∴=1，2，3，4，5时，5镇江一中高三理科一轮复习教学案这是答案中的五个解。但是又知而知也成立，可知：在（0，6）内的解的个数的最小值为7。例3已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）(A)－1(B)0(C)1(D)2解：因为是定义在上的奇函数所以，又，故函数，的周期为4所以，选B例4．已知奇函数满足的值为。解：例5已知是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。解法1：从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上∵,则∴,∵，是偶函数∴解法2：（从图象入手也可解决，且较

7、直观）如图：,.∵是偶函数∴时又周期为2，时∴例6的定义域是，且,若求 f(2008)的值。解：周期为8，例7函数对于任意实数满足条件，若则_______________。解：由得，所以，则例8若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.5镇江一中高三理科一轮复习教学案①求的周期；②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称,;③讨论在上的单调性；解:①由已知，故周期.②设是图象上任意一点,则,且关于点对称的点为.P关于直线对称的点为∵,∴点在图象上,图象关于点对称.又是奇函数,∴∴点在图象上,图象关于直线对称.③设，则，∵在上递增,∴……(*)又∴,.所以：

8、，在上是减函数.例9已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是